4.3.2 对数的运算法则（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

4.3.2　对数的运算法则(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解对数的运算性质，能熟练运用对数的运算性质化简求值. 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. (一)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么， (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 微点助解 1.对数的运算法则 (1)对数运算法则的语言表达：“积的对数＝对数的和”，“商的对数＝对数的差”. (2)对数的运算法则实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算. (3)注意法则的使用条件：每一个对数都要有意义. log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)是不成立的，log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的. 2.对数运算中的常用结论 已知a＞0，且a≠1. (1)loga＝logaM－1＝－logaM(M＞0)； (2)loga＝logaM＝logaM(M＞0，n，p∈N＋，p，n＞1)； (3)推广：logaN1＋logaN2＋…＋logaNk＝loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N＋，N1，N2，…，Nk均大于0). [基点训练] 1.下列等式成立的是(　 ) A.log223＝3log22 B.log2(8＋4)＝log28＋log24 C.log2(8－4)＝log28－log24 D.＝log2 解析：选A　对于A，log223＝3log22，故A正确；对于B，log2(8＋4)＝log212，故B错误；对于C，log2(8－4)＝log24＝log222＝2log22＝2，故C错误；对于D，＝＝＝，故D错误. 2.化简log612－2log6的结果为(　 ) A.6 B.12 C.log6 D. 解析：选C　原式＝log6 －log62＝log6＝log6. (二)换底公式 1.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫作常用对数 log10N记为lg_N 自然对数 以e为底的对数叫作自然对数，e是无理数，e＝2.718 28… logeN记为ln_N 2.对数换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 3.推论 (1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1). 微点助解 (1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. (2)运用换底公式可以改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题来进行化简、计算和证明. (3)实际应用换底公式时，底数究竟换成什么要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数. [基点训练] 1.计算log92×log43＝(　 ) A.4 B.2 C. D. 解析：选D　log92×log43＝×＝×＝. 2.若lg 3＝a，lg 2＝b，用a，b表示log43＝________. 解析：log43＝＝＝. 答案： 题型(一)　对数运算法则的应用 [典例]　求下列各式的值. (1)；(2)(lg 5)2＋lg 2×lg 50； (3). [解]　(1)原式＝＝＝. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＝(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 2＋lg 5)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1. (3)原式＝＝ ＝＝＝＝－1. [方法技巧] 对数式化简或求值的常用方法和技巧 (1)对于同底数的对数式，化简的常用方法是： ①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式； ②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差). (2)对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简. (3)当真数是形如“±”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”.　　 [针对训练] 计算： (1)2(lg )2＋lg ×lg 5＋； (2)log535＋2log－log5－log514. 解：(1)原式＝lg ×(2lg ＋lg 5)＋＝lg ×(lg 2＋lg 5)＋(1－lg )＝lg ＋1－lg ＝1. (2)原式＝log5＋2log2＝log553－1＝3－1＝2. 题型(二)　对数换底公式的应用 [典例]　已知log37＝a,2b＝3，试用a，b表示log1456. [解]　因为2b＝3，所以b＝log23，即log32＝. 所以log1456＝＝＝＝＝. [变式拓展] 1.本例条件不变，试用a，b表示log2898. 解