4.1.2 无理数指数幂（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

课时目标 第3课时　无理数指数幂及指数幂的综合 (强基课—梯度进阶式教学) 1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程.　　　　　　　 2.理解指数幂的运算性质. 3.能进行指数幂(实数幂)的运算.　　　　 4.理解幂运算基本不等式. 1 2 目 录 课前环节 预知教材·自主落实主干基础 课堂环节 题点研究·迁移应用融会贯通 2 1.有理数指数幂的基本不等式 (1)对任意的正有理数r和正数a，若a>1，则_____；若a<1，则_______. (2)对任意的负有理数r和正数a，若a>1，则_______；若a<1，则_______. 课前环节 预知教材·自主落实主干基础 ar>1 ar<1 ar<1 ar>1 ar>as ar<as 2.无理数指数幂 (1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果. (2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围. (3)一般的幂运算基本不等式： 对任意的正数u和正数a，若a>1则_______；若a<1则_______. 对任意的负数u和正数a，若a>1则_______；若a<1则_______. au>1 au<1 au<1 au>1 答案：> 课堂环节　 题点研究·迁移应用融会贯通 [方法技巧] 关于无理数指数幂的运算 (1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算. (2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留.　　 题型(二)　利用幂运算基本不等式比较大小　 [典例]　已知a>0且a≠1，m，n∈N＋.证明am＋n＋1>am＋an. [证明]　am＋n＋1－am－an＝(am－1)(an－1). 当a>1时，∵m>0，n>0，∴am>1，an>1， ∴(am－1)(an－1)>0. 当0<a<1时，∵m>0，n>0，∴am<1，an<1， ∴(am－1)(an－1)>0. 综上可知，am＋n＋1>am＋an. [方法技巧] 利用幂运算基本不等式比较大小 (1)当u>0时，若a>1，则au>1；若0<a<1，则au<1. (2)当u<0时，若a>1，则au<1；若0<a<1，则au>1.　　 [针对训练] 若a>0，求证：(1＋a)50>1＋50a. 证明：若A>0，B>0， 则(1＋A)(1＋B)>1＋A＋B， ∴(1＋a)2>1＋2a，(1＋a)3>(1＋2a)(1＋a)>1＋3a， ∴(1＋a)5>(1＋2a)(1＋3a)>1＋5a， ∴(1＋a)25>(1＋5a)5>1＋25a， ∴(1＋a)50>(1＋25a)2>1＋50a. 即(1＋a)50>1＋50a. 得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7. (2)将a＋a－1＝7两边平方，可得a2＋a－2＋2＝49， ∴a2＋a－2＝47. [方法技巧] (1)对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式进行适当变形，构造出能用已知条件表示的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值. 答案：B　 答案：A “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（二十六）” (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 (3)由此可知：对任意的正数a>1和两有理数r>s，有＝ar－s>1，即________.对任意的正数a<1和两有理数r>s，有＝ar－s<1，即_______. [基点训练] 1.已知x＞0，y＞0，则(xy)＝________. 答案：x2 y3 2.设a＞0，则表示成分数指数幂是________. 答案：a 3.若a>0，b>0，则(1＋a)(1＋b)____1＋a＋b.(填>或<). 题型(一)　无理数指数幂的运算 [典例]　计算下列各式： (1)(3·)3 ； (2)a·a÷aπ(a>0)； (3)已知a＝10 ，b＝10 ，c＝10 ，求103－2＋的值(用a，b，c表示). [解]　(1)原式＝(3·2)3＝36×22＝2 916. (2)原式＝a＋－π＝a－. (3)原式＝＝＝. [针对训练] 计算下列各式： (1)3；(2)(m·m－)6(m>0). 解：(1)原式＝(π－)3＝(π)3 ＝π3. (2)原式＝(m－)6＝(m)6＝mπ. 题型(三)　指数幂运算中的条件求值 [典例]　已知a＋a－＝3(a>0)，求下列各式的值： (1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3). ∴原式＝＝＝3. [解]　(1)将a＋a－＝3两边平方， (3)∵a＋a－＝(a)3＋(a－)3＝(a＋a－)(a－a·a－＋a－1)＝3(a＋a－1－