5.1.2 利用二分法求方程的近似解（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（北师大版2019）

1.2　利用二分法求方程的近似解(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.　　　　　　 2.掌握二分法的实施步骤. 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想. 1.满足精确度ε的近似解 设是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－|＜ε，就称x0是满足精确度ε的近似解. 2.二分法的定义 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法. 3.二分法求方程近似解的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值(可以是[a，b]中的任意一个值)；否则重复步骤(2)～(4). 微点助解 (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理. (2)二分法的基本思想：逼近思想和算法思想. (3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的零点为变号零点时适用，对函数的零点为不变号零点时不适用.如函数f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解. (4)用二分法求函数的零点时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的较小的区间，这样可以减小计算量. [基点训练] 1.判断正误： (1)二分法所求出的方程的解都是近似解.(　 ) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点.(　 ) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.(　 ) (4)只有求函数的零点时才用到二分法.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.用二分法求函数f(x)＝log2x－的零点时，初始区间可选为(　 ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案：C 3.下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　 ) 答案：A 题型(一)　二分法概念的理解 [典例]　(多选)下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是(　 ) A.y＝＋1 B.y＝ C.y＝x2＋4x＋8 D.y＝|x| [解析]　对于选项C，y＝x2＋4x＋8＝(x＋4)2≥0，故不能用二分法求零点的近似值.对于选项D，y＝|x|≥0，故不能用二分法求零点的近似值.易知选项A、B有零点，且可用二分法求零点的近似值.故选C、D. [答案]　CD [方法技巧] 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)在该零点左右函数值异号. 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.　　 [针对训练] 1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　 ) A.4,4　　　　　　　 B.3,4 C.5,4 D.4,3 解析：选D　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3. 2.用“二分法”求f(x)＝x2－6的零点时，初始区间可取(　 ) A.(0,1)　　　　　　　　　　　B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析：选C　因为f(0)＝02－6＝－6，f(1)＝12－6＝－5，f(2)＝22－6＝－2，f(3)＝32－6＝3，f(4)＝42－6＝10，所以f(2)f(3)＜0.故零点在区间(2,3)内. 题型(二)　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似解) [典例]　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1). [解]　令f(x)＝2x3＋3x－3， 经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)f(1)<0， 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点. 即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解. 取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0， 又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解. 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表： (a，b) 中点c f(a) f(b) f (0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0 (0.5,0