6.4.1 样本的数字特征（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（北师大版2019）

§4　 用样本估计总体的数字特征 第 1课时 　样本的数字特征(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义. 2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(极差、方差、标准差)，理解离散程度参数的统计含义. 样本的数字特征 概念或计算公式 平均数 样本数据的平均值 中位数 将样本数据按从小到大的顺序排列后，“中间”的那个数据 众数 样本数据中出现次数最多的数据 极差 样本数据中最大值与最小值的差 方差 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] 标准差 s＝ 微点助解 1.平均数的性质 若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，则ax1，ax2，…，axn的平均数为a；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b. 2.方差的性质 若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.特别地，当a＝1时，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差为s2，这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性. [基点训练] 1.判断正误： (1)一组数据中的平均数和中位数都不一定是原数据中的数.(　 ) (2)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变.(　 ) 答案：(1)√　(2)× 2.七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84,79,86,87,84,93,84，则这组分数的中位数和众数分别是(　 ) A.84,85 B.84,84 C.85,84 D.85,85 解析：选B　把七位评委打出的分数按从小到大的顺序排列为：79,84,84,84,86,87,93，可知众数是84，中位数是84. 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数分别为9.1,9.3，x，9.2，9.4，若这5个分数的平均数为9.3，则x＝________. 答案：9.5 4.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”.为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作为试验基地，这n座城市共享单车的使用量(单位：人次/天)分别为x1，x2，…，xn. (1)要评估共享单车使用量的稳定程度，应该选择数据的哪项指标？ (2)统计数据的方差越大，共享单车使用量越稳定吗？ 提示：(1)标准差(方差)能反映一组数据偏离平均数的离散程度，因此可以用来评估共享单车使用量的稳定程度. (2)统计数据的方差越大，共享单车使用量越不稳定. 题型(一)　样本数字特征的计算 [典例]　已知数据甲：10,11,12,13,14；数据乙：11,12,12,12,13，则(　 ) A.甲的平均数大于乙的平均数 B.乙的平均数大于甲的平均数 C.甲的方差大于乙的方差 D.乙的方差大于甲的方差 [解析]　甲的平均数1＝×(10＋11＋12＋13＋14)＝12， 乙的平均数2＝×(11＋12＋12＋12＋13)＝12， ∴甲的平均数与乙的平均数相等，故A、B错误；甲的方差s＝×[(10－12)2＋(11－12)2＋(12－12)2＋(13－12)2＋(14－12)2]＝2； 乙的方差s＝×[(11－12)2＋(12－12)2＋(12－12)2＋(12－12)2＋(13－12)2]＝0.4， ∴s>s，故C正确，D错误. [答案]　C [方法技巧] 1.平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算. 2.计算标准差的五个步骤 第一步：算出样本数据的平均数； 第二步：算出每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1,2，…，n)； 第三步：算出(xi－)2(i＝1,2，…，n)； 第四步：算出(xi－)2(i＝1,2，…，n)这n个数的平均数，即样本方差s2； 第五步：算出方差s2的算术平方根，即为样本标准差s.　　 [针对训练] 1.若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为(　 ) A.5,2 B.16,2 C.16,18 D.16,9 解析：选C　法一：∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5， ∴×(x1＋x2＋x3＋…＋xn)＝5， ∴×(3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn)＋1＝3×5＋1＝16. ∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18. 法二：观察新数据与原数据的关系，可知新数据的平