5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（北师大版2019）

第五章 函数应用 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系. 2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 课时目标 1.1　利用函数性质判定方程解的存在性 (强基课—梯度进阶式教学) 01 02 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 3 (一)函数的零点 1.函数零点的概念 使得______________的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点. f(x0)＝0 2.函数的零点、函数的图象、方程的根的关系 x轴 f(x0)＝0 (3)若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内. (4)零点的概念沟通了函数与方程，使方程解的问题可以通过研究函数图象性质得以解决.函数零点的个数决定了相应方程实数解的个数. (5)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数解，也是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标. 基点训练 1.下列各图象表示的函数中，没有零点的是(　 ) 答案：D　 解析：结合函数零点的定义可知选项D没有零点. 2.函数f(x)＝2 022x－2 023的零点是(　 ) 答案：D 3.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个. 答案：3 解析：∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2. (二)零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条______的曲线，并且在区间端点的函数值___________，即_________，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解. 一正一负 f(a)·f(b)<0 连续 微点助解 (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0； (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件； (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点. 1.判断正误： (1)若f(a)f(b)>0，则f(x)在[a，b]上无零点.(　 ) (2)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.(　 ) (3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 基点训练 2.对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则(　 ) A.方程f(x)＝0一定有一实数解 B.方程f(x)＝0一定无实数解 C.方程f(x)＝0一定有两实根 D.方程f(x)＝0可能无实数解 答案：D　 解析：∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管有f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)内可能无实数解. 3.函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为(　 ) A.(0,1) B.(－1,0) C.(2,3) D.(1,2) 答案：D　 [解]　(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2. 所以函数的零点为－2. (2)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. 变式拓展 1.将本例(1)的题设改为：若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值. 2.将本例(1)的题设改为：已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点. 解：由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a. 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1). [方法技巧]　探究函数零点的两种求法 代数法 求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点 几何法 与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 针对训练 答案：CD　 题型(二)　函数零点所在区间的判定 (2)若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间(　 ) A.(－2，－1) B.(－1,0) C.(0,1) D.(1,2) [答案]　(1)B　(2)C ∴f(2)f(3)＜0. ∴f(x)在(2,3)内有一个零点. (2)构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是单调递增函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)内，所以方程ex＋x＝2的解在区间(0,1)内. 变式拓展 1.若本例(1)的题设改为：若方程log3