教材回归专题(17) 相似三角形的性质及其应用word-【全效学习】2023-2024学年九年级下册数学同步课件及教参（人教版）

教材回归专题(十七)　相似三角形的性质及其应用 【教材母题】 (教材P58复习题27第11题) 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 　教材母题图 解：设正方形零件的边长为x mm. ∵四边形EFHG为正方形，∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC，△AEK∽△ABD， ∴＝＝，即＝， 解得x＝48. 答：正方形零件的边长是48 mm. 【变式1】 (改变条件正方形为长方形，问题不变) 1. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上． (1)当P为AB中点时，PQ＝__60__mm； (2)当PQ＝40 mm，求PN的长； (3)若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？ 　第1题图 解：(1)∵四边形PQMN为矩形， ∴MN∥PQ，即PQ∥BC. 又∵P为AB的中点， ∴PQ是△ABC的中位线， ∴PQ＝BC＝×120＝60(mm)． (2)∵四边形PQMN为矩形， ∴PQ∥BC.又∵AD⊥BC， ∴PQ⊥AD.易证△APQ∽△ABC， ∴＝，∴＝， ∴AH＝ mm，∴PN＝HD＝AD－AH＝mm. (3)设边宽为x mm，则长为2x mm. ∵四边形PQMN为矩形， ∴PQ∥BC.又∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD. ∵PN∶PQ＝1∶2， ∴PQ为长，PN为宽． 易证△APQ∽△ABC， ∴＝. 由题意，得PQ＝2x mm，AD＝80 mm，BC＝120 mm，PN＝x mm， ∴＝， 解得x＝，∴2x＝. 答：矩形的长为 mm，宽为 mm. 【变式2】 (改变条件正方形为平行四边形，问题不变) 2. 如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，已知∠A＝90°，AB＝6 cm，AC＝8 cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在BC上，D，E两点分别在边AB，AC上，且DE＝5 cm.求： (1)斜边BC上的高； (2)▱DEFG的面积． 第2题图 解：(1)如答图，过点A作AP⊥BC于点P，交DE于点H. ∵∠BAC＝90°，AB＝6 cm，AC＝8 cm， ∴BC＝＝10 cm. ∵AP⊥BC， ∴AB·AC＝BC·AP，即6×8＝10×AP， ∴AP＝4.8 cm， 故斜边BC上的高为4.8 cm. 第2题答图 (2)∵四边形DGFE是平行四边形， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，AP⊥DE， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝.又∵DE＝5 cm， ∴＝，∴AH＝2.4 cm， ∴PH＝AP－AH＝2.4 cm， ∴▱DEFG的面积为5×2.4＝12(cm2)． 【变式3】 (条件不变，改变问题为探究性问题) 3. 一块直角三角形木板，BC长75 cm，AC长100 cm，要把它加工成面积最大的正方形棋盘，小明、小亮二人的加工方法分别如图1，2所示，请运用所学知识说明谁的加工方法得到的正方形面积较大． 第3题图 解：设图1加工桌面长x cm.如答图，过点C作CM⊥AB，垂足为M，与GF相交于点N. 第3题答图 ∵BC＝75 cm，AC＝100 cm， ∴BA＝＝125 cm. 又∵S△ACB＝AC·CB＝AB·MC，∴CM＝＝60 cm.∵GF∥DE， ∴△CGF∽△CAB，∴＝， ∴＝，即＝， 解得x＝. 设图2加工桌面长y cm. ∵FD∥BC， ∴Rt△AFD∽Rt△ACB， ∴＝，即＝， 解得y＝. 又∵＞， ∴图2加工方法得到的正方形面积较大． 1. 若△ABC∽△DEF，相似比为5∶2，则对应中线的比为(　A　) A. 5∶2 B. 2∶5 C. 25∶4 D. 4∶25 2. 如图，小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15 m，又在A处竖立一根高为2 m的标杆，在同一时刻测得标杆的影长AC为3 m，则楼高为(　A　) 第2题图 A. 10 m B. 12 m C. 15 m D. 22.5 m 3. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3 cm，AC＝4 cm.若以斜边BC上距离B点3 cm的点P为中心，把这个三角形逆时针旋转90°至△DEF的位置，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为__1.44__cm2. 第3题图 【解析】 由题意，易得△PSC∽△RQC∽△ABC，△PSC≌△PQF. ∵∠A＝90°，AB＝3 cm，AC＝4 cm， ∴BC＝5 cm，S△ABC＝6 cm2， ∴PC＝2 cm， ∴S△PSC∶S△ABC＝PC2∶AC2＝1∶4，∴S△