教材回归专题(16) 圆中的相似word-【全效学习】2023-2024学年九年级下册数学同步课件及教参（人教版）

教材回归专题(十六)　圆中的相似 【教材母题】 (教材P58复习题27第8题) 如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝PA·PB. 教材母题图 证明：如答图，连接AC，BC. ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°. ∵CD⊥AB，∴∠APC＝∠CPB＝90°， ∴∠ACP＝90°－∠A＝∠CBA， ∴△ACP∽△CBP，∴＝， ∴PC2＝PA·PB. 教材母题答图 【变式1】 (把条件与结论互换) 1. 如图，⊙O的直径AB交弦CD(不是直径)于点P，且PC2＝PB·PA，求证：AB⊥CD. 第1题图 证明：如答图，连接AC，BD. ∵∠A＝∠D，∠C＝∠B， ∴△ACP∽△DBP，∴＝， ∴PC·PD＝PB·PA. 又∵PC2＝PB·PA， ∴PC＝PD，即AB平分CD. 又∵AB是直径，∴AB⊥CD. 第1题答图 【变式2】 (基本图形不变，条件改变，结论改变) 2. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC与AD相交于点G. (1)求证：AB＝AC； (2)若DG＝BC＝16，求AB的长． 第2题图 解：(1)∵EF是⊙O的切线， ∴DA⊥EF. ∵BC∥EF，∴DA⊥BC. 又∵DA是直径，∴＝， ∴∠ACB＝∠ABC，AB＝AC. (2)如答图，连接DB. ∵BG⊥AD，∴∠BGD＝∠BGA＝90°. ∵∠ABG＋∠DBG＝90°，∠DBG＋∠BDG＝90°，∴∠ABG＝∠BDG， ∴△ABG∽△BDG，∴＝，即BG2＝AG·DG. ∵BC＝16，BG＝GC，∴BG＝8，∴82＝16×AG，解得AG＝4. 在Rt△ABG中，BG＝8，AG＝4， ∴AB＝＝4. 第2题答图 【变式3】 (基本图形不变，条件改变，结论改变) 3. 如图，已知AC是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M.求证： (1)PD是⊙O的切线； (2)AM2＝OM·PM. 第3题图 证明：(1)如答图，连接OB. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC. ∵AC为⊙O的直径，∴∠CBA＝90°， ∴∠CAB＋∠OCB＝90°. 又∵∠CBD＝∠CAB，∴∠CBD＋∠OBC＝90°， ∴∠OBD＝90°，∴PD是⊙O的切线． 第3题答图 (2)由(1)得，PD是⊙O的切线，直线PA与⊙O相切， ∴PO垂直平分AB， ∴∠AMP＝∠AMO＝90°，∴∠APM＋∠PAM＝90°. ∵∠OAP＝90°，∴∠PAM＋∠OAM＝90°， ∴∠APM＝∠OAM， ∴△OAM∽△APM， ∴＝，∴AM2＝OM·PM. 【变式4】 (基本图形不变，条件改变，结论改变) 4. 如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，直线PO交⊙O于点D，E，交AB于点C. (1)求证：∠ADE＝∠PAE； (2)若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE； (3)若PE＝4，CD＝6，求CE的长． 第4题图 解：(1)如答图，连接OA. ∵PA为⊙O的切线，∴AO⊥PA， ∴∠OAE＋∠PAE＝90°. ∵DE是⊙O的直径，∴∠DAE＝90°， ∴∠ADE＋∠AED＝90°. ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AED， ∴∠ADE＝∠PAE. 第4题答图 (2)由(1)，得∠PAE＝∠ADE＝30°. ∵∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°－∠ADE＝60°. 又∵∠AED＝∠PAE＋∠APE， ∴∠APE＝60°－∠PAE＝30°＝∠PAE， ∴AE＝PE. (3)设CE＝x，则DE＝CD＋CE＝6＋x， ∴OA＝OE＝， ∴OC＝OE－CE＝，OP＝OE＋PE＝. ∵PA，PB为⊙O的切线， ∴PA＝PB，PO平分∠APB， ∴PO⊥AB. ∵PA为⊙O的切线，∴AO⊥PA， ∴易证△OAC∽△OPA，∴＝， ∴＝， 即x2＋10x－24＝0， 解得x＝2(负值舍去)，∴CE＝2. 1. 如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD. (1)求证：直线CD是⊙O的切线； (2)若AD＝4，AB＝12，求线段BC的长． 　第1题图 解：(1)如答图，连接OD. ∵BC与⊙O相切，∴∠CBO＝90°. ∵AD∥OC，∴∠COB＝∠A，∠COD＝∠ODA. 又∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA， ∴∠COB＝∠COD. 又∵OB＝OD，OC＝OC， ∴△COB≌△COD(SAS)， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∴CD是⊙O 的切线． (2)如答图，连接BD. 第1题答图 ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°， ∴BD＝＝＝8. ∵∠COB＝∠A，∠OBC＝∠ADB＝90°， ∴△COB∽△BAD， ∴