教材回归专题(15) 相似三角形判定的综合word-【全效学习】2023-2024学年九年级下册数学同步课件及教参（人教版）

教材回归专题(十五)　相似三角形判定的综合 【教材母题】 (教材P36练习第2题) 如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证： (1)△ACD∽△ABC； (2)△CBD∽△ABC. 　教材母题图 证明：(1)∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB. 又∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. (2)∵CD是斜边AB上的高， ∴∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠ACB， 又∵∠B＝∠B，∴△CBD∽△ABC. 【变式1】 (条件不变，结论改变) 1. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高， 求证： (1)AC2＝AD·AB； (2)BC2＝BD·AB； (3)CD2＝BD·AD. 　第1题图 证明：(1)∵∠A＝∠A，∠CDA＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC， ∴＝，∴AC2＝AD·AB. (2)∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，∴BC2＝BD·AB. (3)∵∠B＋∠BCD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD. 又∵∠CDB＝∠CDA＝90°， ∴△CDB∽△ADC，∴＝， ∴CD2＝BD·AD. 【变式2】 (基本图形不变，条件改变，结论改变) 2. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AC＝，DB＝4，则AD的长为__1__． 第2题图 【解析】 易证△ACD∽△ABC， ∴＝， ∴AC2＝AD·AB， 则()2＝AD·(AD＋4)， 解得AD＝1(负值舍去)， ∴AD的长为1. 3. 如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，且AC＝2BC.求证：AD＝4BD. 　第3题图 证明：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∴△ACD∽△CBD∽△ABC， ∴＝＝＝2， 则AD＝2CD，CD＝2BD， ∴AD＝4BD. 【变式3】 (基本图形改变，条件改变) 4. 如图，D为△ABC的边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4.求证：△ACD∽△ABC. 　第4题图 证明：∵AD＝2，BD＝6， ∴AB＝8， ∴＝＝，＝＝， ∴＝. 又∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为边BC上的中线，DE⊥AB于点E.求证：△BDE∽△CAD. 　第1题图 证明：∵AD为边BC上的中线，AB＝AC，∴AD⊥BC，∠B＝∠C. 又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC＝90°， ∴△BDE∽△CAD. 2. 如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长． 第2题图 解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.又∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B， ∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC. (2)∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD＝AB＝8. ∵△ADF∽△DEC，∴＝， ∴DE＝＝＝12. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AE＝＝＝6. 3. 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AD＝，BC＝6，DE＝2. (1)求证：△ABC∽△ADE； (2)求的值． 　第3题图 解：(1)∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AD＝，BC＝6，DE＝2， ∴AC＝＝3，AE＝＝1， ∴＝＝3， ∴△ABC∽△ADE. (2)由(1)，得＝. 又∵∠BAD＝90°－∠CAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE， ∴＝＝. 4. 如图，已知在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，EC与BD相交于点O，且∠ABD＝∠ACE，连接DE. (1)求证：△EOD∽△BOC； (2)若＝，求的值． 　第4题图 解：(1)∵∠ABD＝∠ACE，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE， ∴＝，∴＝. 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE＝∠ABC. 又∵∠ADE＝∠ACE＋∠OED，∠ABC＝∠ABD＋∠OBC， ∴∠ACE＋∠OED＝∠ABD＋∠OBC， ∴∠OED＝∠OBC. 又∵∠EOD＝∠BOC， ∴△EOD∽△BOC. (2)由(1)，得△ADE∽△ABC. 又∵＝，∴＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$