教材回归专题(14) 反比例函数与一次函数的综合应用word-【全效学习】2023-2024学年九年级下册数学同步课件及教参（人教版）

教材回归专题(十四)　反比例函数与一次函数的 综合应用 【教材母题】 (教材P22复习题26第10题) 在同一直角坐标系中，若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象没有交点，试确定k1k2的取值范围． 解：若反比例函数的图象位于第一、三象限，且与正比例函数图象无交点，则k2>0，k1<0，∴k1k2<0；　 若反比例函数的图象位于第二、四象限，且与正比例函数图象无交点，则k2<0，k1>0，∴k1k2＜0.　 综上所述，若正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，则k1k2<0.] 【思想方法】 (1)解决反比例函数与一次函数图象的交点问题，只需把交点的坐标代入解析式计算即可．注意在交点坐标未知时，可以利用联立两函数解析式解方程组的方法求解；(2)反比例函数和一次函数的综合题常涉及特殊线段、三角形面积等条件，这些几何图形的边长常常与某些点的坐标相关．这类题体现了知识交汇的命题特点． 【变式1】 (改变条件反比例函数的解析式，结论不变) 1. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象没有交点，则实数k的取值范围是__k＞2__． 【解析】 ∵正比例函数y＝2x的图象过第一、三象限，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象没有交点， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴4－2k＜0，∴k＞2. 【变式2】 (改变条件正比例函数为一次函数，结论不变) 2. 已知一次函数y＝－x＋4与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的图象没有交点，则k的取值范围是__k＞4__． 【变式3】 (改变条件无交点为有交点，求解析式及其他问题) 3. 如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝(x>0)的图象经过点A和点B(2，6)，且B为AC的中点，求： (1)k的值和点C的坐标； (2)△OAC的周长． 　第3题图 解：(1)∵y＝(x>0)的图象经过点B(2，6)， ∴k＝2×6＝12，即反比例函数的解析式为y＝. ∵反比例函数y＝经过点A，点C在y轴上，∴可设点A，C(0，c)． 如答图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥y轴于点D. 第3题答图 易知点E，D(0，6)，AE∥BD，BD＝2，AE＝a. 又∵B为AC的中点，∴AE＝2BD＝4，CE＝2CD， ∴点E(0，3)， ∴c－3＝2(c－6)，解得c＝9，即点C(0，9)． (2)由(1)可知点A(4，3)，E(0，3)，C(0，9)， ∴OC＝9，OA＝＝＝5， AC＝＝＝2， ∴△OAC的周长为9＋5＋2＝14＋2. 4. 已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限相交于点M(2，a)． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线y＝x向上平移b个单位长度后与y＝的图象相交于点A(1，m)和点B(n，－1)，求b的值； (3)在(2)的条件下，直线AB与x轴、y轴分别相交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC. 　第4题图 解：(1)∵直线y＝x过点M(2，a)， ∴a＝2. 将点M(2，2)代入y＝中，得k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝. (2)由(1)得，反比例函数的解析式为y＝. ∵点A(1，m)在y＝的图象上，∴m＝4，∴A(1，4)． 设平移后直线AB的解析式为y＝x＋b，将点A(1，4)代入y＝x＋b中，得b＝3. (3)如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F. 第4题答图 由(1)得，反比例函数的解析式为y＝. ∵点B(n，－1)在y＝的图象上， ∴n＝－4，∴点B(－4，－1)． 又∵点A(1，4)，∴AE＝BF，OE＝OF. 又∵∠AEO＝∠BFO， ∴△AOE≌△BOF(SAS)， ∴∠AOE＝∠BOF，OA＝OB. 由(2)，得b＝3，∴平移后直线AB的解析式为y＝x＋3. ∵直线y＝x＋3与x轴、y轴分别相交于点C，D，∴点C(－3，0)，D(0，3)， ∴OC＝OD. 在△AOD和△BOC中， ∵ ∴△AOD≌△BOC(SAS)． 1. 当k＞0时，反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋2的图象大致是(　C　) 2. 若一次函数y＝mx＋6的图象与反比例函数y＝在第一象限的图象有公共点，则有(　D　) A．mn≥－4 B．－9≤mn<0 C．－4≤mn≤0 D．mn≥－9且m≠0，n＞0 【解析】 令mx＋6＝， 整理，得mx2＋6x－n＝0. ∵y＝mx＋6与y＝的图象有交点， 即上述方程有实数根， ∴Δ＝62＋4mn≥0，∴mn≥－9. ∵y＝mx＋6为一次函数，反比例函数y＝在第一象限有图象，∴m≠0，n＞0， ∴mn≥－9且m≠0，n＞0. 3. 如图，一次函数y＝x＋1与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标为2. (1)