教材回归专题(12) 反比例系数k的几何意义word-【全效学习】2023-2024学年九年级下册数学同步课件及教参（人教版）

教材回归专题(十二)　反比例系数k的几何意义 【教材母题】 (教材P8练习第1题) 已知一个反比例函数的图象经过点A(3，－4)． (1)这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？ (2)点B(－3，4)，C(－2，6)，D(3，4)是否在这个函数的图象上，为什么？ 解：(1)设反比例函数的解析式为y＝. ∵函数的图象经过点A(3，－4)， ∴k＝－3×4＝－12＜0， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在图象的每一支上，y随x的增大而增大． (2)∵－3×4＝－2×6＝－12， ∴点B(－3，4)，C(－2，6)在反比例函数的图象上． ∵3×4＝12≠－12， ∴点D(3，4)不在反比例函数的图象上． 【思想方法】 k的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积(xy＝k)为常数这一特点，故过反比例函数的图象上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数，即S＝|k|. 理由：如图，过反比例函数的图象上任意一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|. ∵y＝，∴xy＝k，∴S＝|k|. 推论：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、由该点向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形的面积S＝|k|. 思想方法图 【变式1】 (反比例函数与三角形) 1. 如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积为　(　C　) 第1题图 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【解析】 易知S△AOB＝|k|＝2. ∵直线AC过点O，∴点A，C关于原点对称， ∴OA＝OC，∴S△AOB＝S△BOC， ∴△ABC的面积为2×2＝4. 【变式2】 (反比例函数与平行四边形) 2. 如图，▱ABCD的顶点A在x轴上，点D在y＝(k>0)的图象上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E.若S△ABE＝，则k＝__3__. 第2题图 第2题答图 【解析】 如答图，设BC与x轴相交于点F，连接DF，OD. ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC， ∴易知S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，∴S△OAD＝S△ABE＝，∴k＝3. 【变式3】 (反比例函数与矩形) 3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1＝(x＞0，k为常数且k＞2)的图象上，边AB与函数y2＝(x＞0)的图象相交于点D，则阴影ODBC的面积为__k－1__(结果用含k的式子表示)． 　第3题图 【变式4】 (反比例函数与正方形) 4. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线相交于点E，反比例函数y＝(x>0，k>0)的图象经过点C，E.若点A(3，0)，则k的值是__4__. 第4题图 第4题答图 【解析】 设点C. ∵四边形ABCD是正方形， ∴E为AC的中点，∴点E. ∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴×＝k， ∴m＝1. 如答图，过点C作CH⊥y轴于点H. 易知CH＝1. ∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠HCB＋∠HBC＝∠HBC＋∠OBA＝90°， ∴∠OBA＝∠HCB. 又∵∠AOB＝∠BHC， ∴△AOB≌△BHC(AAS)， ∴BH＝OA＝3，OB＝CH＝1， ∴点C(1，4)，∴k＝4. 1. 如图，在菱形OABC中，AC＝6，OB＝8，O为原点，点B在y轴正半轴上．若函数y＝的图象经过点C，则k的值为(　A　) A. －12 B. －6 C. 12 D. 24 　第1题图 【解析】 ∵在菱形OABC中，AC＝6，OB＝8， ∴点C(－3，4)． ∵反比例函数y＝的图象经过点C， ∴k＝(－3)×4＝－12. 2. 如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－和y＝的图象相交于点A和点B.若C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为(　B　) A．6 B．7 C．8 D．14 第2题图 第2题答图 【解析】 如答图，连接OA，OB. ∵AB∥x轴，∴S△ABC＝S△ABO＝S△PBO＋S△PAO＝×|8|＋×|－6|＝7. 3. 如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C位于第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝(k≠0)的图象经过点B.若OC＝AC，则k的值为__3__． 　第3题图 4