3.1.3函数的奇偶性-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

3.1.3函数的奇偶性 题型1函数奇偶性的判断 3 ◆类型1定义法 3 ◆类型2图像法 4 ◆类型3性质法 6 题型2奇偶性概念的理解 7 题型3利用奇偶性求函数的解析式 9 ◆类型1求对称区间上的解析式 9 ◆类型2方程组法求解析式 10 题型4利用奇偶性求值 10 ◆类型1解析式已知型 11 ◆类型2解析式未知型 12 题型5利用奇偶性求参数 12 ◆类型1解析式已知型 12 ◆类型2已知部分解析式型 13 ◆类型3奇函数+常数型 14 ◆类型4奇偶函数最值型 15 题型6利用奇偶性与单调性解不等式 16 ◆类型1抽象不等式 16 ◆类型2已知函数解析式型 18 题型7利用奇偶性比较大小 18 题型8奇偶函数的图像 19 题型9综合性解答题 21 知识点一.函数奇偶性的定义： 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： 1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； 2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立． 3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔＝-1. ②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔＝1. 知识点二.判断函数奇偶性的方法 1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性． 2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性． 3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0. 4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 总结：奇±奇=奇 偶±偶=偶奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇 知识点三.函数奇偶性的常用结论 1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. 2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 5.若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 注意： 1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(-x)＝-f(x)，而不能说存在x0，使f(-x0)＝-f(x0)．同样偶函数也是如此． 3.若奇函数的定义域包括，则．（3）若函数是偶函数，则． 题型1函数奇偶性的判断 【方法总结】 判断分段函数的奇偶性，可以用定义法，也可以用图象法. 定义法必须验证在每一段内都有或成立，而不能只验证一段解析式。在判断时，要特别注意与的范围，然后选择合适的解析式代入. ◆类型1定义法 【方法总结】 定义法： 【例题1-1】（2023·全国·高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并加以证明： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【变式1-1】1. （2022秋·天津北辰·高一校考阶段练习）下列函数中，为偶函数的是（        ） A．= B．= C．=+ D．=x+ 【变式1-1】2. （2023·广东·高三学业考试）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】3. （2021·高一课时练习）函数（   ） A．是奇函数且在区间上单调递增 B．是奇函数且在区间上单调递减 C．是偶函数且在区间上单调递增 D．是偶函数且在区间上单调递减 【变式1-1】4. （2022秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． ◆类型2图像法 【方法总结】 图象法： 【例题1-2】（多选）（2022秋·高一课时练习）（多选）给出下列四个函数的论