教材回归专题(20) 与角相关的分类讨论word-【全效学习】2023-2024学年七年级上册数学同步课件及教参（人教版）

教材回归专题(二十)　与角相关的分类讨论 【教材母题】 (教材P140习题4.3第9题) 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． (1)如果∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，那么∠BOD是多少度？ (2)如果∠AOE＝140°，∠COD＝30°，那么∠AOB是多少度？ 教材母题图 解：(1)因为OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线， 所以∠AOB＝∠BOC，∠DOE＝∠DOC， 所以∠BOD＝∠BOC＋∠DOC＝∠AOB＋∠DOE＝40°＋30°＝70°. (2)因为OD是∠COE的平分线，∠COD＝30°， 所以∠EOC＝2∠COD＝60°， 所以∠AOC＝∠AOE－∠EOC＝140°－60°＝80°. 又因为OB是∠AOC的平分线， 所以∠AOB＝∠AOC＝40°. 【变式1】 (改变角度的值) 1．若∠AOC＝100°，∠BOC＝30°，OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，求∠MON的度数(画出图形，并写出解题过程)． 解：因为OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，∠AOC＝100°，∠BOC＝30°， 所以∠MOC＝∠AOC＝50°，∠NOC＝∠BOC＝15°. 分两种情况讨论： ①当射线OB在∠AOC外部时，如答图1. ∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝50°＋15°＝65°； 第1题答图 ②当射线OB在∠AOC内部时，如答图2. ∠MON＝∠MOC－∠NOC＝50°－15°＝35°. 综上所述，∠MON的度数为65°或35°. 【变式2】 (改变角度的值及角度倍分关系) 2．已知O为直线AB上一点，射线OC，OD，OE位于直线AB的上方，射线OD在射线OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝90°，∠AOD＝2∠COE，求∠BOE的度数． 解：设∠COE＝x°，则∠AOD＝2x°. 分两种情况讨论： ①当射线OD，OE均在∠AOC内部时，如答图1. 因为∠AOC＝120°，∠DOE＝90°， 所以2x＋90＋x＝120，解得x＝10， 所以∠BOE＝180°－2x°－90°＝70°； 第2题答图 ②当射线OD在∠AOC内部，射线OE在∠BOC内部时，如答图2. 因为∠AOC＝120°，所以2x＋90－x＝120，解得x＝30， 所以∠BOE＝180°－2x°－90°＝30°. 综上所述，∠BOE的度数为70°或30°. 【变式3】 (改条件为动态问题) 3．如图，已知∠MON＝90°，射线OA绕点O从射线OM的位置开始，按顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O从射线ON的位置开始，按逆时针方向以每秒6°的速度旋转，设旋转时间为t s(0≤t≤30)． (1)用含t的式子表示∠AOB的度数； (2)在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值； (3)射线OA，OB在旋转过程中，是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角(指大于0°而不超过180°的角)的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 　第3题图 解：(1)∠AOB＝(90－10t)°或(10t－90)°. (2)∠AOB第二次达到60°， 即10t－90＝60，解得t＝15. (3)存在．分三种情况讨论： ①当OB平分∠AON时， 易知∠BON＝∠AON， 所以6t＝(90－4t)，解得t＝； ②当OB平分∠MON时， 易知∠BON＝∠MON＝45°， 所以6t＝45，解得t＝； ③当OB平分∠AOM时， 易知∠AOM＝∠BOM， 所以×4t＝90－6t，解得t＝. 综上所述，t的值为或或. 1．在直线AB上取一点O，过点O作射线OC，OD，使∠DOC＝90°，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数为(　D　) A．60° B．60°或90° C．120° D．60°或120° 【解析】 分两种情况讨论：　 当射线OC，OD在直线AB的同侧时，如答图1. 第1题答图1 因为∠AOC＝30°，∠DOC＝90°，所以∠BOD＝180°－30°－90°＝60°； 当射线OC，OD在直线AB的异侧时，如答图2. 第1题答图2 因为∠AOC＝30°时，∠AOD＝90°－30°＝60°，所以∠BOD＝180°－∠AOD＝120°. 综上所述，∠BOD的度数为60°或120°. 2．在同一平面内，已知∠AOB＝50°，∠BOD＝3∠AOB，且OM平分∠AOB，ON平分∠AOD，试求∠MON的度数． 解：分两种情况讨论： ①当OA，OD在直线OB的同侧时，如答图1. 第2题答图1 因为∠AOB＝50°，∠BOD＝3∠AOB， 所以∠BOD＝150°， 所以∠AOD＝150°－50°＝100°. 因为OM平分∠AOB，ON平分∠AOD， 所以∠AO