3.1.1函数及其表示方法-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

3.1.1函数及其表示方法 题型1区间的表示 4 题型2函数概念 5 ◆类型1函数定义的理解 5 ◆类型2已知对应关系判断函数 7 ◆类型3已知解析式判断函数 9 ◆类型4函数图像的判断 10 题型3函数求值 12 题型4函数个数的判断 14 题型5同一个函数的判断 14 题型6函数的定义域及其求法 16 ◆类型1已知函数解析式求定义域 16 ◆类型2抽象函数定义域问题 17 ◆考点一已知f(x)求f(x+a)型 17 ◆考点二已知f(x+a)求f(x)型 18 ◆考点三已知f(x+a)求f(x+b)型 18 ◆考点四复合函数的定义域 19 ◆类型3已知定义域求参数取值范围 20 题型7求函数解析式 21 ◆类型1待定系数法 21 ◆类型2换元法 22 ◆类型3方程组法 23 ◆类型4配凑法法 24 题型8分段函数 24 ◆类型1分段函数求值问题 24 ◆类型2含参问题 25 ◆类型3分段函数求解析式 26 ◆类型4分段函数的图像 28 题型9新定义习题 31 题型10实际应用 32 知识点一.函数的定义 函数 两集合A、B 设A，B是两个非空数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 知识点二.函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域． （3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 具体如下： ①解析法∶利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明 其定义域. ②列表法∶就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银 行的利率表等.其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值.这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去. ③图像法∶函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段 曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象. 注意： 函数的图像：将函数y=f（x），x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点（x，y）组成的集合F称为函数的图像，即F={（x，y）|y=f（x），x∈A}. 知识点三.分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数. 知识点四.同一个函数 如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 知识点五.区间及相关概念 （1）一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 （2） 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 题型1区间的表示 【例题1】（2023·全国·高一专题练习）用区间表示下列数集： (1)； (2)； (3)； (4)R； (5)； (6)或. 【变式1-1】1. （2023秋·高一课时练习）已知区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】2. （2023秋·高一课时练习）已知区间，则实数a的取值范围是 ． 【变式1-1】3. （2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）不等式的解集用区间表示为 ． 【变式1-1】4. （2023·江苏·高一专题练习）十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下