1.2.3 直线的一般式方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1.2.3　直线的一般式方程 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式. 2.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化. 重点难点 重点：直线方程的一般式及与方程其他形式的互化. 难点：各种形式的直线方程的灵活应用. 1.直线的一般式方程 (1)概念 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程. (2)几何意义 ①当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成y＝－x－，它表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线. ②当B＝0时，A≠0，方程Ax＋By＋C＝0可以写成x＝－，它表示垂直于x轴的直线. 2.直线方程的五种形式的比较 名称 方程形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上一点，k是斜率 不垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直x轴和y轴 截距式 ＋＝1(a≠0，b≠0) a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0) A，B，C为系数 任何情况 (1)直线的一般式方程与其他形式方程之间可以相互转化，直线方程的最终结果一般用一般式方程表示. (2)方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件是A，B不全为0，即A2＋B2≠0. (3)直线的一般式方程看似含有待定系数A，B，C，实际上只需求出－，－(B≠0)就可以确定直线的方程. (4)若题中无特殊要求，则把所求直线化成一般式时，有如下约定：①一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列；②x项的系数为正；③x，y的系数和常数项一般互质，若有除1之外的公约数需要化简约分. 1.(多选)直线l在平面直角坐标系中的位置如图，已知l∥x轴，则直线l的方程可以用下面哪种形式写出(　 ) A.点斜式 　　　　 B.斜截式 C.截距式 　　　　　 D.一般式 答案：ABD 2.经过点A(8，－2)，斜率为－2的直线方程为(　 ) A.x＋2y－4＝0 B.x－2y－12＝0 C.2x＋y－14＝0 D.x＋2y＋4＝0 答案：C 3.(多选)关于直线l：x－y－1＝0，下列说法正确的有(　 ) A.过点(，－2) B.斜率为 C.倾斜角为60° D.在y轴上的截距为1 答案：BC —————————————————————————————————— 直线的一般式方程 —————————————————————————————————————— [典例]　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1. [解]　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由斜截式，得直线方程为y＝4x－2， 即4x－y－2＝0. (3)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (4)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. [方法技巧] 关于直线的一般式方程与其他形式的方程 一般情况下，直线方程的一般式与直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以进行互化，但是最常用的是一般式化为斜截式，可以得出斜率、纵截距，用于作图或转化解题.　　 [对点训练] 　已知直线l经过点A(2，1)，B(3，3)，求直线l的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距. 解：因为kl＝＝2，所以点斜式方程为y－1＝2(x－2)，斜截式为y＝2x－3，一般式为2x－y－3＝0，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为－3. —————————————————————————————————— 由截距、斜率的值求参数 —————————————————————————————————————— [典例]　设直线l的方程为(m2－m－6)x＋(3m2＋5m－2)y＝3m＋6(m∈R，m≠－2)，根据下列条件分别求m的值. (1)l在x轴上的截距是－4； (2)l的斜率为. [解]　(1)令y＝0，得x＝， 由＝－4，解得m＝. (2)直线l的斜率k＝－＝－. 由－＝，解得m＝. [拓展] 1.若本例中直线l的倾斜角为45°，试求m的值. 解：由k＝－＝tan 45°， 即3－m＝3m－1，