1.2.2 直线的两点式方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1.2.2　直线的两点式方程 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. 重点难点 重点：直线的两点式和截距式方程的应用. 难点：两种方程形式的灵活应用. （一）直线的两点式方程 名称 两点式方程 已知条件 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2) 示意图 方程形式 ＝ 适用条件 斜率存在且不为零 在用两点式求直线的方程时，往往把分式形式＝(x1≠x2，y1≠y2)通过交叉相乘转化为整式形式(y－y1)(x2－x1)＝(y2－y1)(x－x1)，在得到的方程中，包含了x1＝x2或y1＝y2的情况，故此转化过程不是一个等价的转化过程，不能忽略由x1，x2和y1，y2是否相等引起的讨论.若要避免讨论，则可以直接设成两点式的整式形式. 1.过(1，2)，(5，3)的直线方程是(　 ) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 解析：选B　由直线方程的两点式，得＝. 2.已知点A(1，2)，B(－1，－2)，则直线AB的方程是(　 ) A.2x－y＝0 B.2x＋y－4＝0 C.x＋2y－5＝0 D.x－2y＋3＝0 解析：选A　由直线方程的两点式，得＝，整理得直线AB的方程是 2x－y＝0. （二）直线的截距式方程 名称 截距式方程 已知条件 直线l在x轴和y轴上的非零截距分别为a，b 示意图 方程形式 ＋＝1 适用条件 斜率存在且不为零，不过原点 对直线的截距式方程的理解及应用 (1)直线的截距式方程是直线方程的两点式的特殊情况，即直线经过的两点是直线与坐标轴的交点. (2)利用直线的截距式方程的前提条件是a≠0且b≠0(即ab≠0)，即当直线经过原点或与坐标轴垂直时，则不可用截距式表示. 1.已知点A(0，4)，B(4，0)在直线l上，则l的方程为(　 ) A.x＋y－4＝0 B.x－y－4＝0 C.x＋y＋4＝0 D.x－y＋4＝0 解析：选A　根据截距式可得直线方程为＋＝1，即x＋y－4＝0. 2.在x，y轴上的截距分别为－3，4的直线方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选A　由直线的截距式方程可得，所求直线方程为＋＝1. ————————————————————————————————— 直线的两点式方程 —————————————————————————————————————— [典例]　已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0). (1)求边AB所在直线的方程； (2)求边AC上的中线BD所在直线的方程. [解]　(1)由两点式得边AB所在直线的方程为＝，即x＋y－4＝0. (2)由题意，得点D的坐标为(－4，2)， 由两点式，得BD所在直线的方程为＝，即2x－y＋10＝0. [方法技巧] 求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程. (2)差的顺序性：常会将x，y或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系. [提醒]　已知两点坐标，求过这两点的直线方程也可以先求斜率，再代入点斜式得到直线的方程.　　 [对点训练] 1.经过点(3，5)，(－1，4)的直线方程为____________. 解析：代入方程的两点式得＝，整理得x－4y＋17＝0. 答案：x－4y＋17＝0 2.已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程. 解：由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在. ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. ————————————————————————————————— 直线的截距式方程 —————————————————————————————————————— [典例]　求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. [解]　①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点A(3，4)，所以＋＝1，解得a＝－1.所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. ②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y