1.1 直线的斜率与倾斜角（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

　第1章 直线与方程 1.1　直线的斜率与倾斜角 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 重点难点 重点：过两点的直线斜率的计算公式. 难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系. (一)直线的斜率 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率，即k＝(x1≠x2). (2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在. (1)直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式. (2)直线与y轴垂直时，斜率公式依然成立，此时k＝0. (3)直线AB的斜率与A、B两点的顺序无关. 1.直线x＝2 023的斜率为(　 ) A.1 B.0 C.2 023 D.不存在 答案：D 2.已知两点A(－1，2)，B(3，4)，则直线AB的斜率为(　 ) A.2 B.－ C. D.－2 答案：C (二)直线的倾斜角 1.直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角 规定 与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角α的取值范围是{α|0≤α＜π} 2.直线的斜率与倾斜角之间的关系 当直线与x轴不垂直时，该直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为 k＝tan_α. 直线l的倾斜角α与斜率k的对应关系 直线情况 垂直于y轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0，且随着α的增大而增大 不存在 k<0，且随着α的增大而增大 1.给出下列结论： ①任意一条直线都有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； ④若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)； ⑤若α是直线l的倾斜角，且sin α＝，则α＝45°. 其中正确的个数是(　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A 2.下列图形中，α表示直线的倾斜角的是(　 ) 答案：B 3.已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为15°，则直线l的倾斜角为________. 答案：105°或75° —————————————————————————————————— 直线的斜率———————————————————————————————————— [典例]　分别求经过下列两点的直线的斜率： (1)(－3，2)，(2，－1)；(2)(2，0)，(0，－4)；(3)(2，1)，(3，1)；(4)(a，a)，(a－1，a＋3). [解]　(1)因为直线过(－3，2)，(2，－1)两点，所以直线的斜率为k＝＝－； (2)因为直线过(2，0)，(0，－4)两点，所以直线的斜率为k＝＝2； (3)因为直线过(2，1)，(3，1)两点，所以直线的斜率为k＝＝0； (4)因为直线过(a，a)，(a－1，a＋3)两点，所以直线的斜率为k＝＝－3. [方法技巧] 求直线斜率的方法 (1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则该直线的斜率k＝tan α. (2)公式法：已知直线上任意两点的坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等，若相等，则斜率不存在；若不相等，则直线的斜率k＝(x1≠x2).　　 [对点训练] 1.过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线斜率等于1，则m的值等于(　 ) A.1或3 B.4 C.1 D.1或4 解析：选C　由已知得kPQ＝＝1，解得m＝1. 2.设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________. 解析：依题意知直线AC的斜率存在，则m≠－1.由kAC＝3kBC，得＝3·，解得m＝4. 答案：4 3.若三点A(3，3)，B(a，0)，C(0，b)(其中a·b≠0)共线，则＋＝________. 解析：由于A，B，C三点共线，则kAB＝kAC， 所以＝，所以ab＝3a＋3b.即＋＝. 答案： —————————————————————————————————— 直线的倾斜角 —————————————————————————————————————— [典例]　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　 ) A.α＋