2.2 直线与圆的位置关系（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

2.2　直线与圆的位置关系 明学习目标 知结构体系 课标要求 能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系. 重点难点 重点：运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系. 难点：运用直线与圆的方程解决简单的问题. 1.直线与圆的三种位置关系及判定 位置关系 相离 相切 相交 图形 几何法 d与r的大小 d＞r d＝r d＜r 代数法 依据方程组 解的情况 Δ＜0方程组无解 Δ＝0方程组只有一解 Δ＞0方程组有两个不同解 2.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. (1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程组解的组数，进一步判断两者的位置关系. (2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离. (3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，较繁琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，也是判断直线与圆的位置关系的常用方法. 1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　 ) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 解析：选B　∵圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝＜1，∴直线与圆x2＋y2＝1相交，又(0，0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心. 2.(多选)直线l：x－1＝m(y－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是(　 ) A.相离 B.相切或相离 C.相交 D.相切 解析：选CD　l过定点A(1，1)，又点A在圆上，当l斜率存在时，l与圆一定相交，又直线x＝1过点A且为圆的切线，∴l与圆相交或相切.故选C、D. 3.已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1, 若直线l与圆C相切，则k＝________. 答案：0或 —————————————————————————————————— 直线与圆的位置关系的判断 —————————————————————————————————————— [典例]　已知圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k分别为何值时，直线与圆的位置关系满足下列条件：①相交；②相切；③相离. [解]　法一(代数法)：联立 消去y，整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0， 则Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1)＝－32k2＋4＝4(1－8k2). ①当直线与圆相交时，Δ＞0，即－＜k＜； ②当直线与圆相切时，Δ＝0，即k＝±； ③当直线与圆相离时，Δ＜0，即k＜－ 或k＞. 法二(几何法)：圆心(0，0)到直线y＝kx－3k的距离d＝＝.由题意知，圆的半径r＝1. ①当直线与圆相交时，d＜r，即＜1, 解得－＜k＜； ②当直线与圆相切时，d＝r，即＝1，解得k＝±； ③当直线与圆相离时，d＞r，即＞1，解得k＜－或k＞. [方法技巧] 直线与圆的位置关系的判断方法 若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.　　 [对点训练] 1.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是　　(　 ) A.－2 B.－12 C.2 D.12 解析：选CD　圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，得b＝2或b＝12.故选C、D. 2.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　 ) A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析：选ABD　选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝|r|，∴直线l与圆C相切，A正确.选项B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2<r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝>|r|，∴直线l与圆C相离，B正确.选项C，∵点A在