2.1 圆的方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

　第2章 圆与方程 　 第 课时　圆的标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程. 重点 难点 重点：圆的标准方程. 难点：圆的标准方程的应用. (一)圆的概念及标准方程 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆.定点就是圆心，定长就是半径 基本要素 确定一个圆的基本要素是圆心和半径 圆的标准方程 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)叫作以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程 (1)所谓标准方程，是指方程的形式.圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径. (2)圆的标准方程的右端r2>0，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程. (3)圆的标准方程可用来解决：①已知圆心和半径求圆的方程的问题；②已知圆心及圆上一点求圆的方程的问题(圆心与圆上一点间的距离即半径). 1.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为(　 ) A.(－1，5)， B.(1，－5)， C.(－1，5)，3 D.(1，－5)，3 解析：选B　由圆的标准方程可知，圆心为(1，－5)，半径为.故选B. 2.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是(　 ) A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1 解析：选A　设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1，2)在圆上，所以1＋(2－b)2＝1，b＝2，故方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A. (二)点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 CM＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 CM>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 CM<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 1.点P(1，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为(　 ) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.无法确定 答案：A 2.已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________. 解析：由题意知 即解得0≤a<1. 答案：[0，1) 　—————————————————————————————————— 求圆的标准方程 —————————————————————————————————————— [典例]　设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为__________. [解析]　法一：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得 ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 法二：设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则M， ∴解得 ∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 法三：设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0.联立解得M(1，－1). ∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5. ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. [答案]　(x－1)2＋(y＋1)2＝5 [方法技巧] 圆的标准方程的两种求法 (1)几何法：利用图形的平面几何性质，如“弦的中垂线必过圆心”，“两条弦的中垂线的交点必为圆心”，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程. (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解——解方程组，求出a，b，r； ④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程.　　 [对点训练] 1.若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是(　 ) A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52 解析：选A　易知直径两端点的坐标分别为(4，0)，(0，－6)，可得圆的半径为，因为圆心坐标为(2，－3)，所以所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝