1.5.2 点到直线的距离（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1.5.2　点到直线的距离 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式. 2.会求两条平行直线间的距离. 重点 难点 重点：点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离. 难点：点到直线的距离公式的推导. (一)点到直线的距离公式 定义 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)的距离d＝ 应用点到直线的距离公式的注意事项 (1)当点在直线上时，点到该直线的距离为0，点到直线的距离公式仍然适用. (2)点到直线的距离公式对于直线方程中A＝0或B＝0时的情况仍然适用.①A＝0时，d＝.②B＝0时，d＝. (3)在应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式. 1.点(0，5)到直线y＝2x的距离是(　 ) A. B. C. D. 答案：B 2.已知点P(－2，3)，点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则|PQ|的最小值为(　 ) A.2 B. C. D. 解析：选B　由题意知|PQ|的最小值为点P到直线l的距离.即|PQ|min＝＝，故选B. 3.若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________. 答案：－4 (二)两条平行直线间的距离 定义 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长 求法 两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离 公式 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(A，B不全为0，C1≠C2)间的距离为d＝ 应用两条平行直线间的距离公式要注意以下三点 (1)把直线方程化为一般式方程； (2)两直线方程中x，y的系数对应相等，若不相等，则先将系数化为相等，再代入公式； (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①若两直线都与x轴垂直，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②若两条直线都与y轴垂直，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 1.两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于(　 ) A. B. C.5 D. 答案：A 2.已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为，则a＝________. 解析：由两平行直线间的距离公式得 d＝＝，即|a＋1|＝2，∴a＝－3或a＝1. 答案：－3或1 —————————————————————————————————— 点到直线的距离公式及应用 —————————————————————————————————————— [典例]　(1)分别根据下列条件，求点P到直线l的距离： ①P(2，1)，l：2x＋3＝0；②P(－3，4)，l：3x－4y＋30＝0. [解]　①由2x＋3＝0知，x＝－，所以点P(2，1)到直线x＝－的距离为2－＝； ②由题意知，点P(－3，4)到直线3x－4y＋30＝0的距离为d＝＝1. (2)已知A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)三点，求△ABC的面积. [解]　直线AB的方程为4x＋3y－52＝0，边AB的长为|AB|＝5. 点C到边AB的距离为d＝＝，所以 S△ABC＝×5×＝28. [方法技巧]　计算点到直线的距离的步骤 整理 将直线方程化为一般式，即Ax＋By＋C＝0 代入 将点P(x1，y1)的坐标及A，B，C的值代入公式d＝ 计算 得到d的值 　　[对点训练] 1.已知点P(x，y)到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的坐标应满足的是(　 ) A.32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0 B.x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0 C.7x＋4y＝0 D.x－4y＋4＝0 解析：选A　因为点P(x，y)到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，所以＝， 化简得32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0. 2.若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为(　 ) A. B.－ C.或－ D.或－ 解析：选D　由题意得＝＝1，即|a－1|＝2，解得a＝或a＝－. —————————————————————————————————— 两条平行直线间的距离公式及应用 —————————————————————————————————————— [典例]　(1)求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离； (2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程. [解]　(1)由两直