1.5.1 平面上两点间的距离（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1.5.1　平面上两点间的距离 明学习目标 知结构体系 课标 要求 探索并掌握平面上两点间的距离公式. 重点 难点 重点：两点间的距离公式. 难点：坐标法求解平面几何问题. 1.两点间的距离 平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝ . 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离OP＝. 2.中点坐标公式 对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则 (1)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成 P1P2＝. (2)当直线P1P2垂直于y轴时，P1P2＝|x2－x1|.当直线P1P2垂直于x轴时，P1P2＝|y2－y1|. (3)由两点间的距离公式，既可以解决已知点的坐标求距离问题，也可以解决已知距离求点的坐标问题. 1.已知点M(2，1)，N(－1，5)，则MN等于(　 ) A.5 B. C. D.4 解析：选A　MN＝＝5.故选A. 2.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　 ) A.(－4，5) B.(－3，4) C.(－1，2) D.(0，1) 解析：选BC　设所求点的坐标为(x0，y0).有 解得或 即所有点的坐标为(－3，4)，(－1，2).故选B、C. 3.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且AB＝5，则a的值为________. 解析：由两点间距离公式得＝5，∴(a＋2)2＝9，∴a＝1或a＝－5. 答案：1或－5 4.已知A(－3，2)，B(7，－8)，C(m，n)，若C为AB的中点，则m＋n等于________. 答案：－1 —————————————————————————————————— 两点间距离公式及应用 —————————————————————————————————————— [典例]　如图，已知△ABC的三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状. 　 [解]　法一：∵AB＝＝＝2， AC＝＝＝2， 又BC＝＝＝2， ∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形. 法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又AC＝＝＝2， AB＝＝＝2， ∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形. 法三：∵＝(6，－4)，＝(4，6). ∴·＝6×4－4×6＝0，∴AB⊥AC. 又＝＝＝2， ＝＝＝2，∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰直角三角形. [拓展] 　本例中条件不变，求BC边上的中线AM的长.如何求解？ 解：设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为(2，2).由两点间的距离公式得AM＝＝，所以BC边上的中线AM的长为. [方法技巧] 1.计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解. 2.通过平面内两点间距离公式的探索过程可以看到平面向量中向量的模的坐标计算公式就是平面内两点间的距离公式. 3.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满足勾股定理.　　 [对点训练] 1.已知点P(－2，5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1，0)，那么点M到原点O的距离为(　 ) A.41 B. C. D.39 解析：选B　设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5).则OM＝＝.故选B. 2.已知点A(1，1)，B(5，3)，C(0，3).求证：△ABC为直角三角形. 证明：法一：∵AB＝＝2，AC＝＝，BC＝＝5，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形. 法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－2， ∴kAB·kAC＝－1， ∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形. 法三：∵＝(4，2)，＝(－1，2)， ∴·＝4×(－1)＋2×2＝0，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形. —————————————————————————————————— 运用坐标法解决平面几何问题 —————————————————————————————————————— [典例]　如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：AB2＝AD2＋BD·DC. [证明]　如图，以BC边的中点为原点O，BC边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标