1.4 两条直线的交点（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1.4　两条直线的交点 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 重点 难点 重点：两直线交点的应用. 难点：根据两直线的交点判断直线的位置关系. 1.两直线的交点 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点. 2.方程组的解的组数与两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 　　3.过两条直线交点的直线系方程 若已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R，这条直线可以是l1，但不能是l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程. 1.直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为(　 ) A.(3，－5) B.(－3，5) C.(3，5) D.(－3，－5) 解析：选C　由解得故交点坐标为(3，5). 2.已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________. 解析：由题意得6a－12≠0，即a≠2. 答案：a≠2 —————————————————————————————————— 求相交直线的交点坐标 —————————————————————————————————————— [典例]　分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋3y－1＝0，l2：2x＋6y－2＝0； (3)l1：6x－2y＋3＝0，l2：3x－y＋2＝0. [解]　(1)解方程组 解得所以交点坐标为(－1，－1)， 所以l1与l2相交. (2)解方程组 ①×2得2x＋6y－2＝0. 所以①与②表示同一直线， 故l1与l2重合. (3)解方程组 ②×2－①得1＝0，矛盾，方程组无解， 故两直线无公共点，l1与l2平行. [方法技巧] 两条直线相交的判定方法 利用两直线方程组成的方程组解的个数来判断两直线的位置关系：当方程组无解时，两直线平行；当方程组仅有一组解时，两直线相交；当方程组有无数组解时，两直线重合. 除此之外，还可以利用两直线的斜率来判断两直线是否相交：若两直线斜率都存在且斜率不相等，则两直线相交；若两直线一条斜率存在，另一条斜率不存在，则两直线相交.　　 [对点训练] 1.已知直线2ax＋y－2＝0与直线x－(a＋1)y＋2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为(　 ) A. 　　　　 B. C. 　　　　 D. 解析：选B　由两直线垂直得2a×1＋1×[－(a＋1)]＝0，解得a＝1. 由解得 ∴这两条直线的交点坐标为. 2.若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　 ) A.k＞－ B.k＜2 C.－＜k＜2 D.k＜－或k＞2 解析：选C　由直线l1，l2有交点，得k≠－2.由得又交点在第一象限内， 所以解得－＜k＜2. ——————————————————————————————————求过两条直线交点的直线方程 —————————————————————————————————————— [典例]　求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程. [解]　法一：解方程组 得即l1与l2的交点坐标为(－1，2). 又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为－， 则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即5x＋3y－1＝0. 法二：由于直线l⊥l3，故直线l满足5x＋3y＋C＝0. 又直线l过直线l1，l2的交点(－1，2)， 故5×(－1)＋3×2＋C＝0， 解得C＝－1， 故直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 法三：由于直线l过直线l1，l2的交点，故直线l满足3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0， 整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0. 其斜率为－＝－，解得λ＝， 则直线l的方程为5x＋3y－1＝0. [方法技巧] 求过两直线交点的直线方程的两种方法 (1)求出交点坐标，根据题意求出相关直线的方程； (2)用直线系方程A1x＋B1y＋C1