1.1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

　 1．1&1.2　一次函数的图象与直线的方程 　　　　　　　 　　　　　　　　直线的倾斜角、斜率及其关系 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 重点 难点 重点：直线的倾斜角和斜率的概念． 难点：斜率与倾斜角的关系. 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，函数解析式y＝kx＋b可以看作二元一次方程，利用直线与方程的这种对应关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题． 　若一次函数y＝－2x＋3的图象是直线l，试判断A(4，－5)，B(－1,4)是否在直线l上． 解：将x＝4代入y＝－2x＋3，得－2×4＋3＝－5，即点A在直线l上；将x＝－1代入y＝－2x＋3，得－2×(－1)＋3＝5≠4，故点B不在直线l上． 1．直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角．通常倾斜角用α表示 范围 当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0，因此，直线的倾斜角α的取值范围为[0，π) 对直线的倾斜角的理解 (1)倾斜角定义中含有三个条件： ①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角． (2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． (3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度． (4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． 2．直线的斜率 经过不同的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率k＝(其中x1≠x2)． 1．判断正误 (1)直线的倾斜角α的取值范围是0＜α＜π.(　 ) (2)当直线的倾斜角为钝角时，k＜0.(　 ) (3)过任意两点的直线的斜率都能用斜率公式求解．(　 ) (4)倾斜角为0的直线只有一条．(　 ) (5)过两点的直线斜率的计算公式与两点的顺序无关．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是(　 ) A．5 B．8 C. D．7 解析：选C　由斜率公式可得＝1，解得m＝. 3．若直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是(　 ) A．45° B．135° C．45°或135° D．－45° 解析：选B　作出直线l，如图所示，由图易知，应选B. (三)直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 1．斜率与倾斜角的关系 (2)斜率与倾斜角的变化规律 图示 倾斜角α(范围) 0 斜率k (范围) 0 k＞0，且随着α的增大而增大 不存在 k＜0，且随着α的增大而增大 倾斜角与斜率的关系 (1)在平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一确定的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率． (2)斜率相等的直线的倾斜角必相等，而倾斜角相等的直线的斜率未必相等． (3)当直线与x轴不垂直时，利用直线上两个不同点的坐标或直线的倾斜角都可以计算直线的斜率． 2．直线的斜率与方向向量的关系 若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝. 1．若直线l的一个方向向量为(2,3)，则它的斜率k为(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选A　∵(2,3)＝2·，且(1，k)是直线的方向向量，∴k＝. 2．过点A(－1，)，B(1,3)的直线的倾斜角为________． 答案：60° —————————————————————————————————— 直线的倾斜角 ————————————————————————————————————— [典例]　已知直线l向上方向与y轴正方向所成的角为30°，求直线l的倾斜角. [解]　有如下两种情况： ①如图a，直线l向上方向与x轴正方向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图b，直线l向上方向与x轴正方向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. [方法技巧] 求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出示意图，找准倾斜角．有时要根据题意把倾斜角α分为以下四种情况讨论：α＝0°，0°<α<90°，α＝90°，90°<α<180°. [对点训练] 1.如图，直线l的倾斜角为(　 ) A．60° B．120° C．30° D．150° 解