2.2.1 双曲线及其标准方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2．1　双曲线及其标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程． 2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题． 重点 难点 重点：双曲线的定义与标准方程． 难点：双曲线标准方程的推导. 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距． 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数，即||MF1|－|MF2||＝2a，关键词“平面内”． 当2a＜|F1F2|时，轨迹是双曲线； 当2a＝|F1F2|时，轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，轨迹不存在． 判断正误 (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　 ) (2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　 ) (3)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (1)在双曲线中，a不一定大于b. (2)“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． 1．双曲线－＝1的焦点是________． 解析：由题意a＝，b＝，所以c＝＝，焦点为(±，0)． 答案：(±，0) 2．双曲线C的左、右焦点分别为(－2,0)，(2,0)，且过点(2，)，则C的方程是____________． 解析：由题意，得双曲线C的焦点在x轴上，设其方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝2， 有解得a2＝2，b2＝2，所以C的方程为－＝1. 答案：－＝1 —————————————————————————————————— 双曲线的定义及应用 —————————————————————————————————————— [典例]　设双曲线C：－＝1的焦点为F1，F2，点P为C上一点，|PF1|＝6，则|PF2|＝________. [解析]　由－＝1，得a2＝16，则a＝4，因为点P为C上一点，所以||PF1|－|PF2||＝2a＝8，因为|PF1|＝6，所以|6－|PF2||＝2a＝8，解得|PF2|＝14或|PF2|＝－2(舍去)． [答案]　14 [方法技巧] 求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间的距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．　　 [对点训练] 1．设点P在双曲线－＝1上，若F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于(　 ) A．22 B．16 C．14 D．12 解析：选A　由题意知|F1F2|＝2＝10，由双曲线定义知||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，∴△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22. 2．与圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－10y＋21＝0都外切的圆的圆心在(　 ) A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．双曲线的一支上 D．一条直线上 解析：选C　设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径为1； 圆x2＋y2－10y＋21＝0的圆心为F(0,5)，半径为2. 依题意得|PF|＝2＋r，|PO|＝1＋r，则|PF|－|PO|＝(2＋r)－(1＋r)＝1<|FO|， 所以点P的轨迹是双曲线的一支． —————————————————————————————————— 方程表示双曲线的条件 —————————————————————————————————————— [典例]　(1)如果方程－＝1表示双曲线，那么实数m的取值范围是(　 ) A．(2，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－1,2) D．(－1,1)∪(2，＋∞) (2)“3<m<5”是“方程＋＝1表示的图形为双曲线”的(　 ) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　(1)因为方程－＝1表示双曲线，所以(|m|－1)(m－2)>0，