2.1.2 椭圆的简单几何性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1．2　椭圆的简单几何性质 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.掌握椭圆的简单几何性质． 2.会根据椭圆的方程分析椭圆的几何性质，会用椭圆的几何性质解决相关问题． 重点 难点 重点：椭圆的简单的几何性质． 难点：离心率的计算. 1．椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 1．通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长，其长度为. 2．椭圆＋＝k(k＞0，a＞b＞0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有相同的离心率． 3．与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0，m>－b2)． 4.椭圆＋＝1(a＞b＞0)中线段的几何特征(如图，F1，F2为焦点)． (1)|PF1|＋|PF2|＝2a； (2)|A1F1|＝|A2F2|＝a－c，|A1F2|＝|A2F1|＝a＋c，a－c≤|PF1|≤a＋c. 2．离心率的作用 椭圆离心率e与a，b的关系：e＝＝＝.因为a>c>0，所以0<e<1.e越接近1，c越接近a，b＝就越小，因此椭圆越扁平；反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a，这时椭圆就越接近于圆． 1．判断正误 (1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.(　 ) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　 ) (3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：D —————————————————————————————————— 椭圆的简单几何性质 —————————————————————————————————————— [典例]　分别求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． (1)x2＋9y2＝81；　(2)25x2＋9y2＝225. [解]　(1)x2＋9y2＝81，即＋＝1，所以可得a2＝81，b2＝9， ∴a＝9，b＝3，c＝＝6，所以长轴长为18，短轴长为6，焦点为(6，0)，(－6，0)，顶点为(9,0)，(－9,0)，(0,3)，(0，－3)，离心率e＝＝. (2)25x2＋9y2＝225，即＋＝1，所以可得a2＝25，b2＝9，∴a＝5，b＝3，c＝＝4，所以长轴长为10，短轴长为6，焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点为(0,5)，(0，－5)，(3,0)，(－3,0)，离心率e＝＝. [方法技巧] 由椭圆方程求几何性质的方法 根据椭圆方程求椭圆的几何性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a，b的数值，进而求出c及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等．　　 [对点训练] 已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 解：椭圆方程可化为＋＝1(m>0)， ∵m－＝>0，∴m>，即a2＝m，b2＝.∴c＝＝. 由e＝，得＝，解得m＝1， ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为，，顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，. —————————————————————————————————— 由椭圆的几何性质求方程 —————————————————————————————————————— [典例]　分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8； (2)已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为8； (3)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为. [解]　(1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝， ∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是＋＝1. (2)由e＝＝，得c＝a，又2b＝8，a2＝b2＋c2，解得a2＝144，b2＝80， 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (3)椭圆方程4x2＋9y2＝36可化为＋＝1， ∴c＝. 又＝，∴a＝5，b＝＝2， 则所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1. [