2.1.1 椭圆及其标准方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

　 1．1　椭圆及其标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程． 重点 难点 重点：椭圆的定义和标准方程． 难点：椭圆标准方程的推导. 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 1．对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 2．对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆． 判断正误 (1)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆．(　 ) (2)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆．(　 ) (3)已知点F1(0，－1)，F2(0,1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆．(　 ) (4)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离相等的点的轨迹是椭圆．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 椭圆的标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 1．椭圆的焦点总在长轴上，当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(－c,0)，当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0，c)，(0，－c)． 2．在两种标准方程中，a2＞b2，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 3．P是椭圆上的任意一点(不在坐标轴上)，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)． 4．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)(异于长轴的端点)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： (1)当r1＝r2，即点P的位置为椭圆与y轴交点时，θ最大； (2)S＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为椭圆与y轴交点时，S取最大值，最大值为bc. 1．判断正误 (1)椭圆＋＝1与＋＝1(a>b>0)的焦点相同，焦距也相同．(　 ) (2)椭圆3x2＋2y2＝1的焦点在x轴上．(　 ) (3)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.(　 ) (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)表示的曲线是椭圆．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆是(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：C 3．已知椭圆＋＝1上一点P(x，y)到其中一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为(　 ) A．2 B．3 C．1 D. 答案：C —————————————————————————————————— 椭圆的定义及应用 —————————————————————————————————————— [典例]　直线l过椭圆＋＝1的右焦点F2并与椭圆交于A，B两点，则△ABF1的周长是(　 ) A．4 B．6 C．8 D．16 [解析]　根据题意结合椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，并且|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，又因为|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8. [答案]　C [方法技巧] 焦点三角形问题的解题方法 (1)以椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2为顶点构成的三角形称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义，三角形的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积问题，结合椭圆定义，建立关于|PF1|(或|PF2|)的方程求得|PF1|(或|PF2|)的长度，有时把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量． (2)焦点三角形的周长等于2a＋