1.2.4 圆与圆的位置关系（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2．4　圆与圆的位置关系 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系． 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法． 3.能利用圆与圆的位置关系解决有关问题． 重点难点 重点：圆与圆位置关系的判断与应用． 难点：利用圆与圆的位置关系解决有关问题. 1．两圆之间的位置关系 (1)两圆相交，有两个公共点； (2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点； (3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点． 2．用几何法判断圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r， 则圆心距d＝|C1C2|＝. 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距与半径的关系 d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2 图示 3.用代数法判定圆与圆的位置关系 已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 将方程联立消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，则 (1)判别式Δ>0时，C1与C2相交． (2)判别式Δ＝0时，C1与C2外切或内切． (3)判别式Δ<0时，C1与C2外离或内含． (1)几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题． (2)利用代数法判断两圆的位置关系，当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆可能外离也可能内含． 1．判断正误 (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　 ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　 ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－3)2＝25的位置关系为(　 ) A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 解析：选C　根据题意，圆(x＋2)2＋y2＝4的圆心为(－2,0)，半径r1＝2； 圆(x－2)2＋(y－3)2＝25的圆心为(2,3)，半径r2＝5. 两圆的圆心距d＝＝5，有5－2<d<5＋2，则两圆相交．故选C. 3．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，则正实数r的值为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　圆x2＋y2＝r2的圆心为(0,0)，半径为r，圆(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为(3，－4)，半径为2，圆心距为＝5，由于两圆外切，所以r＋2＝5，r＝3. —————————————————————————————————— 两圆相切问题 —————————————————————————————————————— [典例]　(1)(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是(　 ) A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9 C．(x－2)2＋(y－2)2＝25 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49 (2)若圆C1：x2＋y2－2x－m＝0与圆C2：x2＋y2＋4y＋m＝0恰有2条公切线，则m的取值范围为(　 ) A．(0,4) B．(－1,4) C．(－1,0) D．[0,4) [解析]　(1)由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，得圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2. A选项中，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.因为|C1C|＝∈(r1－r，r1＋r)，所以两圆相交； B选项中，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，因为|C2C|＝5＝r＋r2，所以两圆外切，满足条件； C选项中，圆心C3(2,2)，半径r3＝5，因为|C3C|＝3＝r3－r，所以两圆内切，满足条件； D选项中，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7，因为|C4C|＝5＝r4－r，所以两圆内切，满足条件． (2)因为圆C1：(x－1)2＋y2＝1＋m与圆C2：x2＋(y＋2)2＝4－m恰有2条公切线， 所以 解得－1<m<4. [答案]　(1)BCD　(2)B [方法技巧] (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： ①将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径． ②计算两圆圆心的距离d. ③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合． (2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．　　 [对