1.2.3 直线与圆的位置关系（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2．3　直线与圆的位置关系 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系． 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系． 3.能根据直线与圆的位置解决有关切线、弦长等问题． 重点 难点 重点：判断直线与圆的位置关系． 难点：根据直线与圆的位置关系求圆、直线的方程. 直线与圆位置关系的判断 设直线：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 图形 1．直线2x－y＋2＝0和圆x2＋y2－2x＝0的位置关系是(　 ) A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心 解析：选A　圆x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1,0)，半径r＝1，圆心(1,0)到直线2x－y＋2＝0的距离d＝＝＞1，所以直线与圆相离． 2．过点A(－5，－1)的直线l与圆(x＋3)2＋(y－5)2＝4相切，试求直线l的方程． 解：圆心坐标为(－3,5)，半径r＝2， 当直线的斜率不存在时，则直线方程为x＝－5， 则圆心(－3,5)到直线x＝－5的距离为|－3＋5|＝2＝r，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为y＋1＝k(x＋5)，即kx－y＋5k－1＝0， 则圆心(－3,5)到直线的距离为 d＝＝r＝2， 解得k＝， 则直线方程为4x－3y＋17＝0， 综上，直线l的方程为x＝－5或4x－3y＋17＝0. ————————————————————————————————— 直线与圆位置关系的判断 ————————————————————————————————————— [典例]　已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？ [解]　法一：直线与圆的位置关系问题可转化为方程组 有无实数解的问题． ②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③ 方程③的根的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)． 当－2<b<2时，Δ>0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交； 当b＝2或b＝－2时，Δ＝0， 方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切； 当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离． 综上，当－2<b<2时，直线与圆相交； 当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切； 当b>2或b<－2时，直线与圆相离． 法二：圆心(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d＝，圆的半径r＝. 当d<r，即<时， 直线与圆相交，此时－2<b<2. 当d＝r，即＝时， 直线与圆相切，此时b＝±2. 当d>r，即>时， 直线与圆相离，此时b>2或b<－2. 综上，当－2<b<2时，直线与圆相交； 当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切； 当b>2或b<－2时，直线与圆相离． [方法技巧] 判断直线与圆的位置关系应注意的问题 (1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系． (2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算． [提醒]　利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标．　　 [对点训练] (2021·新高考Ⅱ卷)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　 ) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析：选ABD　选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝＝|r|，∴直线l与圆C相切，A正确．选项B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2<r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝>|r|，∴直线l与圆C相离，B正确．选项C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2>r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝<|r|，∴直线l与圆C相交，C错误．选项D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝|r|，∴直线l与圆C相切，D正确．故选A、B、D. ————————————————————————————————— 直线与圆相切 ———————————————————————————————————— [典例]　若直线l过点P(2,3)