1.2.1 圆的标准方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2．1　圆的标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 2.会根据已知条件求圆的标准方程，并写出圆心和半径． 重点 难点 重点：圆的标准方程的求法． 难点：圆的标准方程的应用. 圆的图示 圆的几何特征 圆上任一点到圆心的距离等于定长 圆的标准方程 圆心为(a，b)，半径是r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.特别地，当圆心在坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2 几种特殊位置的圆的标准方程 条件 圆的标准方程 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0) 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0) 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) 圆心在x轴上 且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 续表 条件 圆的标准方程 圆心在y轴上 且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) 1．判断正误 (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　 ) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(　 ) (3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．圆心为(1,2)，且过(0,0)的圆的方程为(　 ) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝ B．x2＋y2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．x2＋y2＝ 解析：选C　因为圆的圆心为(1,2)，且过(0,0)，则圆的半径r＝＝， 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则点P在圆O外⇔d>r； 点P在圆O上⇔d＝r； 点P在圆O内⇔d<r. (1)点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外． (2)判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法，其实质为两点间距离公式的应用． 　已知圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)(　 ) A．在圆C外 B．在圆C内 C．在圆C上 D．不能确定 解析：选B　圆C(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(2,3)，半径为2， 因为|PC|＝＝<2，所以点P在圆C内． ——————————————————————————————————— 求圆的标准方程 ————————————————————————————————————— [典例]　求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)； (2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)； (3)过两点C(－1,1)和D(1,3)，且圆心在x轴上． [解]　(1)圆心为C(4，－1)，半径r＝＝， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10. (2)设圆心为C(0，b)，∴r＝ ＝5， ∴(4＋b)2＝16＝42，∴4＋b＝4或4＋b＝－4，∴b＝0或b＝－8， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. (3)设圆心为M(a,0)，∵|MC|＝|MD|，∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2， 即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，∴a＝2，r＝|MC|＝， ∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10. [方法技巧] 求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．　　 [对点训练] 1．与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为____________． 解析：∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. 答案：(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 2．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是____________． 解析：∵AB为直径， ∴AB的中点(1,2)为圆心， |AB|＝ ＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. 答案：(x－1)2＋(y－2)2＝25 —————————————————————————————————— 点与圆位置关系的判断 —————————————————————————————————————— [典例]　(1)已知集合A＝{(x，y)|y≤，x，y∈N}，则集合A中元素的个数为(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 (2