检测评价19 直线与圆锥曲线的综合问题（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

7 / 7 “四翼”检测评价（十九） 直线与圆锥曲线的综合问题 (一)基础落实 1．椭圆＋＝1中，以点M为中点的弦所在直线的斜率为(　 ) A．－ B．－4 C．－ D．－2 解析：选C　设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆得 两式相减得＋＝0，即＝－，即＝－，又x1＋x2＝2，y1＋y2＝1， 即＝－，即＝－，所以弦所在的直线的斜率为－，故选C. 2．倾斜角为的直线经过椭圆＋y2＝1的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点，则弦长|AB|＝(　 ) A． B． C．2 D．4 解析：选B　因为椭圆＋y2＝1的右焦点为F(1，0)，又倾斜角为的直线经过椭圆＋y2＝1的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点， 所以直线AB的方程为y＝x－1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2＋2(x－1)2＝2，即3x2－4x＝0，所以所以弦长|AB|＝·＝·＝. 3．已知直线l：y＝x＋1，椭圆C：＋y2＝1.若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为(　 ) A． B． C． D． 解析：选B　由题意知，消去y，得2x2＋3x＝0，则Δ>0，xA＋xB＝－， 所以AB中点的横坐标为(xA＋xB)＝－，所以中点的纵坐标为1－＝， 即线段AB的中点的坐标为. 4．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，P为C的准线上一点，若△ABP的面积为36，则|AB|等于(　 ) A．36 B．24 C．12 D．6 解析：选C　设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，因为直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，所以|AB|＝2p，又P为C的准线上一点，所以点P到直线AB的距离为p， 所以S△ABP＝×2p×p＝36，解得p＝6(舍负)，所以|AB|＝2p＝12，故选C. 5．已知顶点在原点，关于y轴对称的抛物线与直线x－2y＝1交于P，Q两点，若|PQ|＝，则抛物线的方程为(　 ) A．x2＝－4y 　　 B．x2＝12y C．x2＝－4y或x2＝12y 　　 D．以上都不是 解析：选C　设抛物线的方程为x2＝2ay，联立抛物线与直线x－2y＝1，消去y得x2－ax＋a＝0， ∴x1x2＝a，x1＋x2＝a， 则|x1－x2|＝＝， ∴|PQ|＝|x1－x2|＝·＝，即a2－4a－12＝0，解得a＝－2或a＝6， ∴x2＝－4y或x2＝12y. 6．已知直线l交椭圆C：＋y2＝1于A，B两点，且AB的中点坐标为，则直线l的方程为________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋y＝1，＋y＝1，两式相减并化简得－＝·， －＝·，＝－， 所以直线l的方程为y－＝－，2x＋4y－3＝0. 答案：2x＋4y－3＝0 7．直线l：x＋2y－4＝0与椭圆C：x2＋4y2＝16交于A，B两点，则弦长|AB|＝__________． 解析：由直线l：x＋2y－4＝0与椭圆C：x2＋4y2＝16交于A，B两点 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 得x2－4x＝0，x1＋x2＝4，x1x2＝0， 弦长|AB|＝＝＝2. 答案：2 8．已知拋物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过拋物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为________． 解析：由题意，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为l：x＝－1， 设A，根据抛物线的定义，可得|AM|＝t2＋＝t2＋1， 因为△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1， 所以|AM|∶|OF|＝t2＋1＝3，可得t2＝8，解得t＝±2，所以点A的坐标为(2，±2). 答案：(2，±2) 9．已知动点M到定点F1(－，0)和F2(，0)的距离之和为4. (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)若直线l：x－y－1＝0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB的面积． 解：(1)∵动点M到定点F1(－，0)和F2(，0)的距离之和为4， ∴动点M的轨迹是以F1(－，0)和F2(，0)为焦点的椭圆，可设方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝2，c＝，b＝＝1，故动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1. (2)由可得5x2－8x＝0， ∴或 ∴设A(0，－1)，B，又O是坐标原点， ∴△AOB的面积为|OA||xB|＝×1×＝. 10．已知椭圆S：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，点P(，－)在椭圆S上，过F2的直线l交椭圆S于A，B两点． (1)求椭圆S的标准方程； (2)求△ABF1的面积的最大值． 解：(1)由题意得＝，且a