检测评价16 抛物线及其标准方程（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（十六） 抛物线及其标准方程 (一)基础落实 1．如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为(　 ) A．(1,0) 　 B．(2,0) C．(3,0) 　 D．(－1,0) 解析：选D　由于抛物线的准线是直线x＝1，所以它的焦点为(－1,0)．故选D. 2．(多选)对抛物线x2＝4y，下列描述不正确的是(　 ) A．开口向上，焦点为(0,1) 　 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(1,0) 　 D．开口向右，焦点为 解析：选BCD　∵抛物线的标准方程为x2＝4y，∴2p＝4，p＝2，∴＝1，因此抛物线的焦点为(0,1)，准线为y＝－1，抛物线的开口向上．故选B、C、D. 3．抛物线y＝mx2的准线方程为(　 ) A．y＝± B．x＝± C．y＝－ D．x＝ 解析：选C　因为抛物线y＝mx2，所以x2＝y，所以准线方程为y＝－.故选C. 4．若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　 ) A．2 B. C. D．3 解析：选A　由抛物线定义知，点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线3x＋4y＋7＝0，得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2. 5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P.若|PF|＝，则双曲线的渐近线方程为(　 ) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选C　∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，p＝2，抛物线和双曲线有一个公共的焦点， ∴p＝2c，即c＝1. 设P(m，n)，由抛物线的定义知， |PF|＝m＋＝m＋1＝，∴m＝. ∴点P的坐标为. ∴解得则双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C. 6．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为____________． 解析：由＋＝1知，a2＝9，b2＝4，所以c2＝5，椭圆的下焦点为(0，－)，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y. 答案：x2＝－4y 7．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝10，则MN的中点到准线的距离为________． 解析：∵F是抛物线y2＝4x的焦点， ∴F(1,0)，准线方程为x＝－1， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋1＋x2＋1＝10，解得x1＋x2＝8， ∴线段MN中点的横坐标为4，∴线段MN的中点到准线的距离为4＋1＝5. 答案：5 8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面AB宽4米．水位下降1米后，水面宽________米． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y. 当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米． 答案：2 9．根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程． (2)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点． 解：(1)∵焦点到准线的距离是2，∴2p＝4， ∴当焦点在y轴上时，抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝－4y. (2)双曲线方程可化为－＝1，左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且－＝－3，∴p＝6， ∴抛物线的方程为y2＝－12x. 10．动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程． 解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D， 作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA. 设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1. ∵圆P与圆A外切，∴|PA|＝R＋r＝R＋1. 又∵圆P与直线l：x＝1相切， ∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1. ∵|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′的距离相等， ∴点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线． 设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，可知p＝4， ∴所求动圆圆心P的轨迹方程为y2＝－8x. (二)综合应用 1．(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则(　 ) A．C的准线方程为x＝－4 B．F点的坐标为(0,4) C．|FN|＝12 D．三角形ONF的面积为1