检测评价15 双曲线的简单几何性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（十五） 双曲线的简单几何性质 (一)基础落实 1．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是(　 ) A．a＝1 B．0<a<1 C．a>1 D．a≥1 解析：选D　等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1.故选D. 2．若点P(2,0)到双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　∵渐近线方程为y＝±x，即x±ay＝0， ∴＝1，∴a2＝3，∴c2＝4， ∴e＝＝＝.故选D. 3．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　双曲线－＝1的渐近线方程是±＝0，即3x±4y＝0.由点到直线的距离公式，得点(3,0)到渐近线3x±4y＝0的距离为＝.故选A. 4．(多选)已知双曲线C：－y2＝1，下列对双曲线C判断正确的是(　 ) A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4 C．离心率为 D．渐近线方程为x±y＝0 解析：选BD　∵双曲线C：－y2＝1，∴a2＝3，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2，∴双曲线的实轴长是2a＝2，虚轴长是2b＝2，A错误；焦距为2c＝4，B正确；离心率为＝，C错误；渐近线方程为y＝±x，D正确．故选B、D. 5．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，P是双曲线C上一点，且∠F1PF2＝60°.若△F1PF2的面积为4，则a＝(　 ) A．1 B．2 C．4 D. 解析：选D　设|PF2|＝m，|PF1|＝n.由∠F1PF2＝60°，△F1PF2的面积为4， 得即 ∴c2＝a2＋4，由离心率e＝＝，得a＝.故选D. 6．已知双曲线－＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为______________． 解析：由题意，得a2＝m，b2＝m＋6，则实轴长为2，虚轴长为2，由题意有2×2＝2，解得m＝2，代入－＝1，得双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 7．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为______． 解析：易得双曲线C的渐近线方程为y＝± x，又知C的一条渐近线方程为y＝－x，则＝，解得m＝3.故C的方程为－y2＝1.所以C的焦距为4. 答案：4 8.如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则椭圆C2的离心率是________． 解析：设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2a1＝2，焦距为2c＝4，由于|F1F2|＝|F1A|，所以|F1A|＝4.由椭圆的定义可得|AF2|＝2a－4，由双曲线的定义可得|AF2|＝4－2＝2，所以2a－4＝2，即a＝3，所以椭圆C2的离心率e＝. 答案： 9．设双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率． 解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 于是有＝c， 所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4. 又b2＝c2－a2， ∴16a2(c2－a2)＝3c4，两边同时除以a4， 得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝.又b>a， ∴e2＝＝1＋>2，则e＝2.故双曲线的离心率为2. 10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状． 解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝， 故设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 则有解得a2＝3，b2＝2. 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)△MF1F2是钝角三角形．不妨设M点在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝6，故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，边MF1最长， 而cos∠MF2F1＝<0， 所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形． (二)综合应用 1．设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　 ) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选D　设F1(－c,0)，A(－c，y