检测评价14 双曲线及其标准方程（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

6 / 6 “四翼”检测评价（十四） 双曲线及其标准方程 (一)基础落实 1．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　方程＋＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程＋＝1表示双曲线，所以“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充要条件． 2．(多选)当α∈时，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示的轨迹可以是(　 ) A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 解析：选ACD　当α∈时，sin α∈， cos α∈. ①当sin α>0，cos α>0时，表示椭圆； ②当sin α>0，cos α<0时，表示双曲线； ③当sin α＝1，cos α＝0时，可能是两条直线． 故选A、C、D. 3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　 ) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 解析：选C　由⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C. 4．(多选)若双曲线y2－4x2＝－m的焦距等于10，则实数m＝(　 ) A．80 B．－80 C．20 D．－20 解析：选CD　当m>0时，方程化为－＝1，双曲线的焦点在x轴上，则a2＝，b2＝m，依题意有＋m＝2，解得m＝20；当m<0时，方程化为－＝1，双曲线的焦点在y轴上，则a2＝－m，b2＝－，依题意有－m＋＝2，解得m＝－20.综上，m＝±20.故选C、D. 5．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且|AB|＝3，|BC|＝2，则双曲线E的标准方程是(　 ) A.－＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝1 解析：选D　如图，设AB，CD的中点分别为M，N，由题意知|MN|＝|BC|＝2.在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，所以c＝1，|BN|＝＝＝，由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，即a＝，所以a2＝，b2＝c2－a2＝，故双曲线E的标准方程为－＝1. 6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________. 解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16. 答案：16 7．已知双曲线中心在坐标原点，且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是____________． 解析：由题意可设双曲线方程为－＝1， 由中点坐标公式可得P(，4)， ∴－＝1，结合0<a2<5，解得a2＝1，则b2＝c2－a2＝4， ∴该双曲线的方程是x2－＝1. 答案：x2－＝1 8．过双曲线－＝1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________． 解析：由双曲线的方程可知a＝2.因为M，N两点在双曲线的左支上，所以由双曲线定义得|MF2|－|MF1|＝2a＝4，|NF2|－|NF1|＝2a＝4，所以|MF2|－|MF1|＋|NF2|－|NF1|＝8，而|MF1|＋|NF1|＝|MN|，所以|MF2|＋|NF2|－|MN|＝8. 答案：8 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上； (2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4. 解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上， 所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上， 所以解得 故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(－，4))． 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 则解得 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 10．△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形． 解：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB＝，kAC＝. 由题意，得·＝m(x≠±a)， 即－＝1(y≠0)． 当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)； 当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1<m<0时，椭圆焦点在x轴上；当m<－1时，椭圆的焦点在y轴上； 当m＝－1时，轨