检测评价13 椭圆的简单几何性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（十三） 椭圆的简单几何性质 (一)基础落实 1．(多选)关于椭圆＋＝1，以下说法正确的是(　 ) A．长轴长为2 B．焦距为2 C．离心率为 D．左顶点的坐标为(－，0) 答案：BCD 2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　 ) A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b 解析：选B　因为椭圆的离心率e＝＝， 所以a2＝4c2. 又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2. 3．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为6，离心率为，则椭圆C的方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选A　根据题意，知2c＝6，得c＝3，c2＝9，又＝，得a＝4，a2＝16，则b2＝a2－c2＝7，则椭圆方程为＋＝1. 4．(多选)已知曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(k<9)，下列说法正确的是(　 ) A．两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B．焦距相等 C．有相同的焦点 D．离心率相等 解析：选ABC　可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确；曲线C1的焦距为2c＝2＝8，曲线C2的焦距为2c＝2＝8，故B、C正确；曲线C1的离心率e1＝＝，曲线C2的离心率e2＝＝，故D不正确． 5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选A　由题意知|F1F2|＝2c，|AB|＝2b. ∵四边形AF2BF1是正方形且面积为4， ∴b＝c，且×2c×2b＝4，即bc＝2， ∴b＝c＝，∴a2＝b2＋c2＝4， ∴椭圆C的方程为＋＝1.故选A. 6．椭圆x2＋＝1的离心率是________． 解析：椭圆x2＋＝1即：＋x2＝1，其长半轴长为a＝，短半轴长为b＝1，则半焦距为c＝＝3.所以椭圆的离心率为：e＝＝. 答案： 7．写出一个对称中心在坐标原点并同时满足下列条件的椭圆方程：________________. ①焦点在x轴上；②离心率为. 解析：由题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，椭圆的焦距为2c，由e2＝＝＝1－＝2＝，从而a2＝3b2. 令b＝1，则a＝，故椭圆方程为＋y2＝1. 答案：＋y2＝1(答案不唯一，满足a2＝3b2即可) 8．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的负半轴上，则该圆的标准方程为_____________． 解析：由题意得，圆经过(－4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(m,0)(m<0)，半径为r， 则解得所以圆的方程为2＋y2＝. 答案：2＋y2＝ 9．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：由题意知，椭圆标准方程为＋＝1，∴a＝3，b＝2，c＝， 即长轴长为6，短轴长为4，焦距为2，焦点坐标为(－，0)，(，0)，顶点坐标为(0，－2)，(0,2)，(－3,0)，(3,0)，离心率e＝. 10．如图，点F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．点A是椭圆C上一点，且满足AF1⊥x轴，∠AF2F1＝30°，直线AF2与椭圆C相交于另一点B. (1)求椭圆C的离心率e； (2)若△ABF1的周长为4，求椭圆C的标准方程． 解：(1)∵在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，|F1F2|＝2c， ∴tan 30°＝，即＝，解得|AF1|＝， cos 30°＝，即＝，解得|AF2|＝， ∴由椭圆的定义，得2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋，即a＝c，∴离心率e＝＝. (2)∵△ABF1的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝4， ∴a＝，∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝2， ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (二)综合应用 1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A，B，若AB的垂直平分线过E的下顶点C，则E的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　由题可知A(－a,0)，B(0，b)，C(0，－b)，因为AB的垂直平分线过E的下顶点C，所以|AC|＝|BC|，则＝2b，解得a＝b，所以E的离心率e＝＝. 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若椭圆C上存在一点A，满足∠F1AF2＝60°，则椭圆C的离心率的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　由椭圆的对称性可知，当A为椭圆的上、下顶点时，∠F1AF2最大，故只需∠F1AF2≥60°即可满足题意，设O为坐标原点，则只需∠OAF2≥30°，即有＝tan∠OAF2