2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

开始 01 02 目 录 强化关键能力 浸润学科素养和核心价值 2 4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系． 2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题． 3.会解决中点弦问题． 重点 难点 重点:弦长问题． 难点:弦长与三角形面积的最值问题. (2)根与系数的关系 联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．　　 [对点训练] 已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1，0)，线段AB恰被M(2，1)所平分． (1)求抛物线E的标准方程； (2)求直线AB的方程． [方法技巧] 圆锥曲线中三角形的面积问题的一般方法 注重实践应用 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价（十九）” (单击进入电子文档) 49 谢谢观看 ——————————————————————————— 弦长问题 ——————————————————————————————— [典例]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，第四象限的一点P(2，m)在C上，且|PF|＝4. (1)求C的方程和m的值； (2)若直线l交C于A，B两点，且线段AB中点的坐标为(1,1)，求直线l的方程及线段AB的长． [解]　(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，由抛物线定义得，|PF|＝2－＝4，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x. 将P(2，m)代入C的方程，得m2＝8×2，解得m＝±4，因为点P在第四象限，所以m＝－4. (2)由题意易知直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得y－y＝8(x1－x2)，则k＝＝， 因为线段AB中点的坐标为(1,1)，所以y1＋y2＝2，所以k＝4，所以直线l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，联立得16x2－32x＋9＝0，则x1＋x2＝2，x1x2＝，所以|AB|＝·＝×＝. [方法技巧] 求弦长的两种方法 (1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式． 设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝， 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得. [对点训练] 双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，过焦点且垂直于y轴的弦长为6. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的下焦点作倾斜角为45°的直线交双曲线于M，N，求MN的长． 解：(1)因为双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，所以＝，双曲线的上焦点为F(0，c)，在－＝1中，令y＝c，得x＝±，所以＝6， 解得a＝1，b＝. 故双曲线方程为y2－＝1. (2)过双曲线的下焦点(0，－2)且倾斜角为45°的直线斜率为k＝1，直线方程为y＝x－2. 代入双曲线方程y2－＝1可得2x2－12x＋9＝0， Δ＝122－4×2×9>0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，故x1＋x2＝6，x1x2＝， 则|MN|＝|x1－x2| ＝＝·＝6，故MN的长为6. ——————————————————————————— 中点弦问题 ——————————————————————————————— [典例]　已知椭圆C的中心在原点，F(3,0)是它的一个焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，且AB的中点为N(2，－1)，则C的方程是________． [答案]　＋＝1 [解析]　设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，kl＝kNF＝1， 由＋＝1，＋＝1相减得＋＝0，即＋·kl＝0， ∴＋＝0⇒a＝b， 又c＝3，∴a2－b2＝9，解得a2＝18，b2＝9，故椭圆C的方程为＋＝1. 处理中点弦问题常用的2种方法 (1)点差法 设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式即可求得斜率． 解：(1)由E的焦点为(1，0)，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，且＝1，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由M(2