1.1.3 空间向量的坐标及空间直角坐标系（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第 1 课时　空间向量的坐标及运算 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示， 掌握空间向量数量积的坐标表示． 2.掌握空间向量的模、夹角． 3.掌握空间向量坐标与空间向量平行与垂直的关系． 重点 难点 重点：空间向量的坐标表示． 难点：空间向量坐标运算的应用. 　 (一)空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量． 1．判断正误 (1)已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一组基底．(　 ) (2)已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，因为00e1＋0e2＋0e3，所以0(0,0,0)．(　 ) 答案：(1)√　(2)√ 2．若{e1，e2，e3}是单位正交基底，已知p＝e1＋2e2－e3，则向量p的坐标为_______． 答案：(1,2，－1) 3．若向量p在{e1，e2，e3}单位正交基底下的坐标是(1,2,3)，则向量p在基底{e1，e2，e3}下的分解式为________． 答案：p＝e1＋2e2＋3e3 (二)空间向量的运算与坐标的关系 (1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a＝b的充要条件是 x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2. (2)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 ①a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； ②λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)； ③a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； ④|a|＝＝； ⑤cos〈a，b〉＝＝. 1．判断正误 (1)已知a＝(0，－1,2)，b＝(1，－1,0)，则a－b＝(－1，－2,2)．(　 ) (2)已知a＝(0，－1,0)，b＝(1，－1,0)，则〈a，b〉＝.(　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2．若a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，则a·b＝________. 解析：a·b＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7. 答案：－7 (三)空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 (1)a∥b⇔b＝λa⇔x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1(a≠0，λ∈R)； (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 1．判断正误 (1)若a·b＝0，则a一定与b垂直．(　 ) (2)已知a＝(1,2,3)，b＝(－1，x ，y)，若a∥b，则x＋y＝－5.(　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2．如果a＝(1，－1,3)与b＝(a－1，－2，b＋4)共线，那么a－b＝________. 解析：∵a与b共线，∴a＝λb，即(1，－1,3)＝λ(a－1，－2，b＋4)＝(λ(a－1)，－2λ，λ(b＋4))， ∴解得λ＝，a＝3，b＝2，∴a－b＝1. 答案：1 [题点一] 空间中向量的坐标 [典例]　如图，四棱锥P-OABC的底面为一正方形，OA＝OP＝1，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：，，，.并写出在基底{a，b，c}下的坐标． [解]　如图，连接BO，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c. ＝＋＝－a＋＝－a＋(＋)＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c. ＝＝＝a. 因此＝，＝－1，－，，＝，＝. [方法技巧] 坐标表示空间向量的步骤 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． (2)确定出空间向量p在单位正交基底下的分解式，则向量p的坐标分量即为向量p的坐标．　　 [对点训练] 1．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(　 ) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) 解析：选A　依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k， 故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)． 2．设{i，j，k}是空间向量的一组单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________． 答案