1.1.2 空间向量基本定理（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．1.2　空间向量基本定理 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解共面向量定理并会应用． 2.了解空间向量基本定理及其意义． 重点 难点 重点：空间向量基本定理、共面向量定理． 难点：理解空间向量基本定理. (一)共面向量定理 1．共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. 2．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb. 3．四点共面 如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y. 1．判断正误 (1)若两个非零向量a，b共线，则a与b的方向相同或相反．(　 ) (2)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．(　 ) 答案：(1)√　(2)× 2．当向量a，b不共线时，a＋2b与2a－b的关系是(　 ) A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定 答案：A 3．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由＝－2＋＋λ可确定点M与A，B，C共面，则λ＝________. 答案：2 (二)空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2．基向量 空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，称为空间向量的一组基底，a，b，c都称为基向量．如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 1．判断正误 (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．(　 ) (2)若对向量p可找到三个向量a，b，c，使p＝xa＋yb＋zc，则{a，b，c}可构成空间向量的一组基底．(　 ) (3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}，使0λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　 ) (4)若{a，b，c}为空间的一组基底，则a，b，c全不是零向量．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若{a，b，c}是空间的一组基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一组基底的向量是(　 ) A．a B．b C．c D．2a 答案：C 3．正方体ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　 ) A．1,1,1 B.，， C.，， D．2,2,2 答案：A [题点一] 向量共线问题 [典例]　如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线. [解]　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形， ∴＝＋＋＝＋＋. 又∵＝＋＋＋＝－＋－－， ∴2＝＋＋－＋－－＝，即＝2.∴与共线． [方法技巧] (1)判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使b＝λa成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出b＝λa，从而得到a∥b. (2)共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线．在证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两向量共线来判定两直线平行．当两共线的有向线段有公共点时，两直线即为同一直线，即此时三点共线．　　 [对点训练] 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线． 证明：设＝a，＝b，＝c. ∵＝2，＝， ∴＝1，＝， ∴＝＝b， ＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c. ∴＝－＝a－b－c＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c， ∴＝.∴E，F，B三点共线． [题点二] 空间向量共面问题 　[典例]　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，， 共面. [证明]　因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理，＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝＋. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面． [方法技巧] 解决向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．　　 [对点训练] 　已知A，B，C三点不共