1.1.1 空间向量及其运算（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

　第一章 空间向量与立体几何 　1.1.1　空间向量及其运算 第 1 课时　空间向量及其线性运算 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解空间向量的概念． 2.掌握空间向量的加减运算． 3.掌握空间向量的数乘运算． 重点 难点 重点：理解空间向量的加减、数乘运算． 难点：空间向量线性运算. (一)空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 长度 向量的大小称为向量的模(或长度) 表示法 几何表示 空间向量用有向线段表示 字母表示 用小写字母表示．若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也 可以记作，其模记为|a|或|| 2.几类特殊向量 零向量 始点与终点相同的向量，记作0，|0|0 单位向量 模等于的向量，记作|a|＝1或||＝1 相反向量 与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记作－a 相等向量 大小相等、方向相同的向量，记作a＝b或 ＝ 共线向量 两个向量a和b平行，记作a∥b，两个向量平行也称为两个向量共线 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 1．判断正误 (1)空间向量就是空间中的一条有向线段．(　 ) (2)不相等的两个空间向量的模必不相等．(　 ) (3)任一向量与它的相反向量不相等．(　 ) (4)向量与向量的长度相等．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1的顶点表示的向量中，模与向量的模相等的向量有________个． 解析：如图，模与向量的模相等的向量有，，，，，，，共7个． 答案：7 (二)空间向量的加法和减法运算 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋ab)＋c＝a＋(b＋c) 1．化简－＋所得的结果是(　 ) A.　　　B.　　　C．0　　　D. 答案：C 2．已知空间任意四个点A，B，C，D，则＋－等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　＋－＝＋＝. (三)空间向量的数乘运算 定义 实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘运算 几何 意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 空间向量数乘运算的注意点 (1)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无意义． (2)任何实数与向量的积仍是一个向量．空间向量的数乘运算可以把向量的模扩大(当|λ|＞1时)，也可以缩小(当|λ|＜1时)；可以不改变向量的方向(当λ＞0时)，也可以改变向量的方向(当λ＜0时)． (3)注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0. 1．已知空间向量a，b，c，化简(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)的结果为(　 ) A．0 B．b C．－b D．－a 解析：选B　(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)＝(1－1)a＋(－2＋3)b＋(－3＋3)c＝b. 2．在四面体OABC中，＋－等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　＋－＝＋＋＝＋＝. 　[题点一] 空间向量的概念 [典例]　有下列关于空间向量的命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与是相等向量；④在空间四边形ABCD中，与是相反向量；⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有3个．其中正确命题的个数为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正确，与的模相等，方向相同；④错误，空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也一定不相反；⑤错误，在三棱柱ABC-A1B1C1中，与AA1的模一定相等的向量是，，，，，共5个．故选A. [答案]　A [方法技巧] 空间向量与平面向量的一致性 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等，方向相反．　　 [对点训练] 1．下列说法正确的是(　 ) A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 D．