第1章 空间向量与立体几何 板块小结与质量评价（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

板块小结与质量评价——空间向量与立体几何 一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．数形结合思想：向量方法是解决立体几何问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而建立了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起． 2．转化与化归思想：空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了方法，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．一般地，先将几何问题转化为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题，这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要． [自我小结]　　 二、把握重点·常考题型集训 题型一　空间向量的运算　 1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝(　 ) A．(0,3，－6) B．(0,6，－20) C．(0,6，－6) D．(6,6，－6) 解析：选B　由b＝x－2a，得x＝4a＋2b，又4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)，所以x＝(0,6，－20)． 2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M在AC上，且AM＝MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND.设＝a，＝b，＝c，则＝(　 ) A．－a＋b＋c B．a＋b－c C.a－b－c D．－a＋b＋c 解析：选A　因为点M在AC上，且AM＝MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND，所以＝，＝.又六面体ABCD-A1B1C1D1为平行六面体，且＝a，＝b，＝c，所以＝a＋b，＝b－c，所以＝＋＋＝－＋＋＝－(a＋b)＋c＋(b－c)＝－a＋b＋c. 3. 如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求： (1)·；(2)AB′的长； (3)AC′的长． 解：(1)·＝||||cos∠BAA′＝5×4×cos 60°＝5×4×＝10. (2)∵＝＋，∴||＝＝＝＝. (3)∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝16＋9＋25＋2×4×5×＋2×3×5×＝85. ∴||＝，即AC′的长为. [题型技法] 空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的． (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y.　　 题型二　空间向量与线面位置关系　 4.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证： (1)AM∥平面BDE. (2)AM⊥平面BDF. 证明： ∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，且EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD，∴EC⊥CD，EC⊥CB.又CD⊥CB，∴以C为原点，分别以CD，CB，CE所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图．由AB＝，AF＝1，得A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F(，，1)．∵M为EF的中点，∴M的坐标为.∴＝. (1)设AC∩BD＝N，连接NE，则N.∴＝，∴＝.∵NE与AM不共线，∴AM∥NE.又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE. (2)易求得＝(，－，0)，＝(0，，1)，∴·＝－×＋×(－)＋1×0＝0，·＝－×0＋×＋1×1＝0，∴AM⊥BD，AM⊥DF.又BD∩DF＝D，∴AM⊥平面BDF. 利用空间向量证明空间中的位置关系 (1)线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直． (3)线面平行 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示． (4)线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题．　　 题型三　空间向量与空间角　 5．已知在正四面体A-BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD