1.2.5 空间中的距离（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．2.5　空间中的距离 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用向量方法解决两点间的距离、点到直线、点到平面、 相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题． 2.体会向量方法在解决几何问题中的作用． 重点 难点 重点：会用空间向量方法求立体几何中的距离问题． 难点：理解距离的向量表示及求解方法. 1．空间中两点之间的距离、点到直线的距离 (1)空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长．因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离，所以可通过向量来求空间中两点之间的距离． (2)点到直线的距离：给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离．点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度． 2．点到平面的距离 (1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离．点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度． (2)若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝. 3．直线与它的平行平面的距离 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离． (1)如果一条直线平行于平面α，则直线上的各点到平面α所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等． (2)一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离． 4．两个平行平面的距离 当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． (1)与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段． (2)两个平行平面之间的距离，也等于它们的公垂线段的长． 1．判断正误 (1)设n是平面α的法向量，点A在平面α内，点B在平面α外，则点B到α的距离为d＝.(　 ) (2)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(x,3,0)在平面α内，点P(－2,1,4)到平面α的距离为，则x＝－1.(　 ) 答案：(1)√　(2)× 2．在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2,3,6，则点M到顶点P的距离是(　 ) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选A　以P为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP|＝＝7. [题点一] 向量法求两点间的距离 　[典例]　如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点，求MN的长． [解]　设＝p，＝q，＝r. 由题意|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°. ＝－＝(＋)－ ＝(q＋r－p)． ∴||2＝·＝(q＋r－p)·(q＋r－p) ＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－q·p－r·p)] ＝ ＝×2a2＝. ∴||＝a，即MN的长为a. [方法技巧] 计算两点间的距离的两种方法 (1)建立空间直角坐标系，求出两点的坐标，套用公式求解； (2)将线段或两点间对应的向量用基底表示出来，通过数量积，利用公式|a|＝求解． [提醒]　用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系．　　 [对点训练]如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若|AB|＝1，|AC|＝2，|BD|＝3，求CD的长度． 解：因为＝＋＋， 所以||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝22＋12＋32＋2[0＋0＋||·||cos(180°－60°)]＝4＋1＋9＋2×＝8， 故||＝2，即CD长度为2. [题点二] 向量法求点到直线的距离 [典例]　已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． [解]　以B为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，B(0,0,0)． ∴＝(－4,3,0)．设E满足＝λ且BE⊥A1C1，则＝＋λ＝(4,0,1)＋λ(－4,3,0)＝(4－4λ，3λ，1)， ∵BE⊥A1C1，∴－4(4－4λ)＋9λ＝0， 解得λ＝，因此＝. ∴||＝＝. 故点B到直线A1C1的距离为. [方法技巧] 用向量法求点到直线的距离的两种方法 (1)将点到直线的距离转化为点与点的距离求解． (2)设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，向量在向量s上的