1.2.2 空间中的平面与空间向量（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1.2.2　空间中的平面与空间向量 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解平面的法向量，并会求平面的法向量． 2.能用向量方法解决简单的线面位置关系． 3.了解三垂线定理及其逆定理． 重点 难点 重点：应用空间向量证明直线与平面、平面与平面之间的关系． 难点：理解三垂线定理及其逆定理. (一)平面的法向量 1．平面法向量的定义 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．此时，也称n与平面α垂直，记作n⊥α. 2．平面法向量的性质 (1)如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量． (2)如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行． (3)如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0. 3．线、面平行或垂直的向量表示 (1)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α；n⊥v⇔l∥α或l⊂α. (2)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2；n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合． 1．判断正误 (1)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.(　 ) (2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　 ) 答案：(1)√　(2)√ 2．(多选)直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为(　 ) A．－2　 B．－　　　C.　 D．2 解析：选BC　线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±. 3．已知平面内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为(　 ) A．(1，－1,1) B．(2，－1,1) C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1) 解析：选C　显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，则有∴令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1,1)． (二)三垂线定理及其逆定理 1．射影 (1)已知空间中的平面α以及点A，过A作α的垂线l，设l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影(也称为投影)； (2)图形F上所有点在平面α内的射影所组成的集合F′，称为图形F在平面α内的射影． 2．三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． 3．三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D与BD1的位置关系为(　 ) A．相交　　　 B．平行 C．垂直 D．无法判断 解析：选C　因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AB⊥平面ADD1A1，故BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1.又因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D，因此根据三垂线定理可得A1D⊥BD1. 2．已知菱形ABCD的对角线相交于点O，平面ABCD外有一点P，且PO⊥平面ABCD，则直线PA与BD所成的角等于________． 解析：因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又因为PO⊥平面ABCD，则OA为PA在平面ABCD内的射影，由三垂线定理的逆定理可得，BD⊥PA，故PA与BD所成的角等于90°. 答案：90° [题点一] 求平面的法向量 [典例]　如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝AA1＝3，AB＝.试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACD1的一个法向量． [解]　易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 则A(0,0,0)，C(，1,0)，D1(0，3,3)， 所以＝(0,3,3)，＝(，1,0)． 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量． 则即 令x＝1，则n＝(1，－，)． 所以平面ACD1的一个法向量为(1，－，)． [拓展] 1．本题条件不变，试求直线B1D的一个方向向量和平面B1CD的一个法向量． 解：由典例易得B1(，0,3)，C(，1,0)，D(0,3,0)， 所以＝(－，3，－3)，＝(0,1，－3)． 设n＝(x，y，z)是平面B1CD的法向量， 则即 所以令z＝1，则x＝2，y＝3. 所以直线B1D的一个方向向量为(－