检测评价2 空间向量的数量积（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

6 / 6 “四翼”检测评价（二）空间向量的数量积 (一)基础落实 1．已知|a|＝4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e方向上的投影数量为(　 ) A．2 B．－2 C．－ D. 解析：选B　由题意，|a|＝4，|e|＝1，〈a，e〉＝，得空间向量a在向量e方向上的投影数量为＝＝4×＝－2. 2．(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式正确的是(　 ) A．a2＝|a|2 B.＝ C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 解析：选AD　对于A，a2＝|a|2cos 0°＝|a|2，A正确；对于B，＝＝≠，另外，根据向量有大小和方向两个要素知向量不能作比值，也可以判断B错误；对于C，设a，b的夹角为θ，则(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2|b|2cos2θ≤a2·b2，C错误；对于D，由空间向量数量积的运算性质可得(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，D正确． 3.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　 ) A．6 B．6 C．12 D．144 解析：选C　因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.所以||＝12.即PC＝12. 4．已知空间向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　 ) A．60° B．30° C．135° D．45° 解析：选D　因为a－b与a垂直，所以(a－b)·a＝0，即a2－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－cos〈a，b〉＝0.所以cos〈a，b〉＝.又0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝45°. 5．在底面是正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，∠A1AD＝∠A1AB＝，则||＝(　 ) A．2 B．2 C．3 D. 解析：选D　∵＝＋＋，∴||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋12＋22＋2×1×1×cos＋2×1×2×cos＋2×1×2×cos＝1＋1＋4＋2＋2＝10，∴||＝.故选D. 6．若ABCD为空间四边形，则·＋·＋·＝________. 解析：·＋·＋·＝·(－)＋(－)·－·(－)＝·－·＋·－·－·＋·＝0. 答案：0 7.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________． 解析：不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，cos〈，〉＝＝＝0. 又0°<〈，〉≤90°，∴〈，〉＝90°. 答案：90° 8.如图所示，在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，AB＝2，则向量分别在，方向上的投影向量为________；向量在方向上的投影数量为________． 解析：根据正六棱柱的性质，知DD1⊥AD，EE1⊥E1D1，ED⊥AE，E1D1⊥AE.又AE∩EE1＝E，AE⊂平面A1E1EA，EE1⊂平面A1E1EA，所以D1E1⊥平面A1E1EA.又AE1⊂平面A1E1EA，所以D1E1⊥AE1.所以向量在，方向上的投影向量分别为，.向量在方向上的投影数量为||＝2. 答案：，　2 9．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．试计算： (1)·；(2)·；(3)·. 解：如图，设＝a， ＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)· ＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)·＝· ＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2. 10．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 证明：设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|. ∵＝＋＝＋(＋)＝c＋a＋b，＝－＝b－a，＝＋＝(＋)＋＝a＋b－c， ∴·＝·(b－a)＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.于是⊥，即A1O⊥BD. 同理可证⊥，即A1O⊥OG.又OG∩BD＝O，且A1O⊄平面GBD，于是有A1O⊥平面GBD. (二)综合应用 1．(多选)在四面体PABC中，下列说法正确的是(　 ) A．若＝＋，则＝3 B．若Q为△ABC的重心，则＝＋＋ C．若·＝0，·＝0，则·＝0 D．若四面体PABC的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1 解析：选ABC　对于A，∵＝＋，∴3＝＋2，∴2－2＝－，∴