检测评价10 空间中的距离（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

9 / 9 “四翼”检测评价（十）空间中的距离 (一)基础落实 1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(2，－1,0)在α内，则P(1,3，－2)到α的距离为(　 ) A．10 B．3 C. D. 解析：选C　＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距离为＝＝. 2.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　 ) A.　　 B.　　 C. D．1 解析：选B　过点B作BE⊥A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)， 由题意知A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)， 故＝(1,2，－3)，＝(0,2,0)， 对应的单位向量为， 所以点B到A1C的距离为 ＝ ＝. 3．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||为(　 ) A.a B.a C.a D.a 解析：选A　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)． ∵点M在上且＝， ∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)， ∴x＝a，y＝，z＝.于是M. ∴||＝ ＝a. 4．在△ABC中，AB＝15，∠BCA＝120°，若△ABC所在平面α外一点P到A，B，C的距离都是14，则P到α的距离是(　 ) A．13 B．11 C．9 D．7 解析：选B　作PO⊥α于点O，连接OA，OB，OC(图略)，∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．∴OA＝＝＝5，∴PO＝＝11为所求． 5．若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　 ) A.a B.a C.a D.a 解析：选D　建立空间直角坐标系如图． 则A(a,0,0)，D(0,0,0)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)， ∴＝(0，a，a)，＝(－a,0，a)． 设n＝(x，y，z)为平面AB1D1的法向量， 则 得取z＝1，则n＝(1，－1,1)． 又∵AD1∥BC1，AB1∥DC1，AD1∩AB1＝A， DC1∩BC1＝C1，∴平面AB1D1∥平面BDC1. ∴平面AB1D1与平面BDC1的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d. ∵＝(a,0,0)，平面AB1D1的法向量为n＝(1，－1,1)，∴d＝＝＝a. 6．已知过点P(1,0,0)的两条直线l1与l2，l1平行于向量s1＝(0,1，－1)，l2平行于向量s2＝(1,1,0)，则点P1(0,1,0)到直线l1与l2确定的平面α的距离为________． 解析：设平面α的法向量n＝(x，y，z)， 由s1·n＝s2·n＝0得 取x＝1，则y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)， 又因＝(－1,1,0)，所以点P1到平面α的距离为＝＝. 答案： 7．在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知＝(－6,2，－8)，＝(4，－2,3)，＝(－4,1,0)，则该三棱柱的高为________． 解析：由题意知＝＝(－4,1,0)， 该三棱柱的高即为点A1到平面ABC的距离d. 设n＝(x，y，z)是平面ABC的一个法向量， 则 令x＝1，则y＝4，z＝，∴n＝， ∵＝(－6,2，－8)， ∴d＝＝＝2. 答案：2 8．在空间直角坐标系Oxyz中，A(1,2,1)，B(2,1，m)，C(0,1,2)，若点C到直线AB的距离不小于，写出一个满足条件的m的值：________. 解析：因为＝(1，－1，m－1)，＝(－1，－1,1)， 所以点C到直线AB的距离d＝＝≥， 解得1－≤m≤1＋. 答案：1(答案不唯一，只要m∈[1－，1＋]即可) 9.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，求点E到平面O1BC的距离． 解：法一：在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C，∵O1C⊂平面O1BC，OE⊄平面O1BC， ∴OE∥平面O1BC，作OF⊥BC，∴BC⊥平面O1OF， ∴平面O1BC⊥平面O1OF，交线为O1F. 过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离， ∴OH＝，∴点E到平面O1BC的距离等于. 法二：∵OO1⊥平面AC，∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB, 建立如图所示的空间直角坐标系， ∵底面ABCD是边长为4，∠DAB＝60°的菱形， ∴OA＝2，OB＝2，则A(2，0,0)，B(0,2，0)，C(－2，0,0)，O1(0,0,3)． 设平面O1BC的一个法向量