检测评价7 空间中的平面与空间向量（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

6 / 6 “四翼”检测评价（七）空间中的平面与空间向量 (一)基础落实 1．设平面α的法向量为(1，－2,2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于(　 ) A．2　　　　　　　 B．4 C．－2 D．－4 解析：选D　∵α∥β，∴(1，－2,2)＝m(2，λ，4)，∴λ＝－4. 2．设平面α内两向量a＝(1,2,1)，b＝(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(　 ) A．(－1，－2,5) B．(－1,1，－1) C．(1,1,1) D．(1，－1，－1) 解析：选B　平面α的法向量应当与a，b都垂直，可以检验知B选项适合． 3．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点中，在平面α内的是(　 ) A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1) C．P(－4,4,0) D．P(3，－4,4) 解析：选A　设平面α内一点P(x，y，z)，则＝(x－1，y＋1，z－2)．∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量， ∴n⊥，即n·＝6(x－1)－3(y＋1)＋6(z－2)＝6x－3y＋6z－21＝0，∴2x－y＋2z＝7. 把各选项的坐标代入上式可知A选项适合． 4.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，不能作为平面AEF的法向量的是(　 ) A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2) C．(2，－2,1) D．(1,2，－2) 解析：选ACD　设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)， E，F. 故＝，＝. 所以即所以 经计算，选项A、C、D中的向量均不能作为平面AEF的法向量． 5．已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n1＝(2，－3,1)，向量＝(1,0，－2)，＝(1,1,1)，则(　 ) A．平面α∥平面ABC B．平面α⊥平面ABC C．平面α、平面ABC相交但不垂直 D．以上均有可能 解析：选A　因为n1·＝0，n1·＝0，AB∩AC＝A，所以n1也是平面ABC的法向量，又平面α与平面ABC不重合，所以平面α与平面ABC平行，故选A. 6．已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8,1)，平面α的法向量为(1，y,2)，则y＝________. 解析：∵l∥α，∴(2，－8,1)·(1，y,2)＝0，即2×1－8y＋2＝0，∴y＝. 答案： 7．设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________． 解析：∵u，v分别为平面α，β的法向量且u＝(－2,2,5)， 当v＝(3，－2,2)时，u·v＝－6－4＋10＝0， ∴u⊥v，即α⊥β. 当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u， ∴u∥v，即α∥β或重合． 答案：α⊥β　α∥β或重合 8．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则＝________. 解析：因为⊥，所以·＝0， 所以3＋5－2z＝0，所以z＝4. 因为＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC， 所以即 解得故＝. 答案： 9.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB. 证明：如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为a， 则A(a,0,0)，A1(a,0，a)， D1(0,0，a)，B1(a，a，a)， B(a，a,0)，C1(0，a，a)． ∴N，M， E，F， ∴＝，＝， ＝(a，a,0)，＝. 设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为 m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)， 则∴ ∴y1＝－x1＝－2z1，取z1＝1， ∴平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2,1)． 同理由可得x2＝－y2，y2＝－2z2，取z2＝1， ∴平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2,1)． ∵m＝n，∴m∥n，∴平面AMN∥平面EFDB. 10.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.证明：AB1⊥平面A1B1C1. 证明：如图所示，以AC的中点O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz. 由题意知，A(0，－，0)， B(1,0,0)，A1(0，－，4)， B1(1,0,2)，C1(0，，1)，则＝(1, ，