检测评价5 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

6 / 6 “四翼”检测评价（五）空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 (一)基础落实 1.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，E为PD的中点，则||＝(　 ) A．2　B.　C.　D．2 解析：选C　由题意可得B(2,0,0)，E(0,1,1)，则＝(－2,1,1)，||＝. 2．已知点A(1,1，－3)，B(3，1，－1)，则线段AB的中点M关于平面Oyz对称的点的坐标为(　 ) A．(－2,1，－2) B．(2,1，－2) C．(2，－1，－2) D．(2,1,2) 解析：选A　∵点A(1,1，－3)，B(3,1，－1)，∴线段AB的中点M(2,1，－2)，∴点M关于平面Oyz对称的点的坐标为(－2,1，－2)．故选A. 3．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　由题意知，2＝，设C(x，y，z)， 则2(x－4，y－1，z－3)＝(2－x，－5－y,1－z)， 所以所以 所以C. 4．空间直角坐标系中，点A(10,4，－2)关于点M(0,3，－5)的对称点的坐标是(　 ) A．(－10,2,8) B．(－10,2，－8) C．(5,2，－8) D．(－10,3，－8) 解析：选B　设A关于M的对称点为B(x，y，z)， 则解得 所以点A(10,4，－2)关于点M(0,3，－5)的对称点的坐标是(－10,2，－8)．故选B. 5．(多选)已知M(1,2,3)，N(2，3,4)，P(－1,2，－3)，若||＝3||且∥，则Q点的坐标可以为(　 ) A．(2,5,0) B．(－4，－1，－6) C．(3,4,1) D．(－3，－2，－5) 解析：选AB　设Q(x，y，z)，∴＝(x＋1，y－2，z＋3)． ∵M(1,2,3)，N(2,3,4)，∴＝(1,1,1)． ∵||＝3||且∥， ∴＝3或＝－3， ∴(x＋1，y－2，z＋3)＝3(1,1,1)或(x＋1，y－2，z＋3)＝－3(1,1,1)， ∴或 ∴Q点的坐标为(2,5,0)或(－4，－1，－6)．故选A、B. 6．已知＝(－1,0,2)，＝(4,2,6)，则空间中M，N两点中点的坐标为________． 答案： 7．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，则||＝________，A，B两点的中点M的坐标为________． 解析：||＝＝，＝，，＝，故点M的坐标为. 答案： 　 8.如图，在空间直角坐标系中，|BC|＝2，原点O是BC的中点．点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则点D的坐标为__________． 解析：过点D作DE⊥BC，垂足为E(图略)，在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2, 得|BD|＝1，|CD|＝，所以|DE|＝|CD|sin 30°＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos 60°＝1－＝.所以点D的坐标为. 答案： 9．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问： (1)在y轴上是否存在点M，满足MA＝MB? (2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标． 解：(1)假设在y轴上存在点M满足MA＝MB，设M(0，y,0)，则有 ＝， 由于此式对任意y∈R恒成立， 即y轴上所有点均满足条件MA＝MB. (2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形． 由(1)可知，y轴上任一点都满足MA＝MB， ∴只要MA＝AB就可以使得△MAB是等边三角形． ∵MA＝＝， AB＝＝， ∴＝，解得y＝或y＝－. 故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形， 点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0)． 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点． (1)求证：EF⊥B1C； (2)求FH的长． 解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有E，F，，0，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H. ＝－＝， ＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)． ∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，∴⊥，即EF⊥B1C. (2)∵F，H， ∴＝， ∴||＝ ＝. ∴FH的长为. (二)综合应用 1．(多选)如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足〈，〉＝90°的是(　 ) 解析：选AD　对于A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(0,0,1)