1.2.2 空间中的平面与空间向量（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

开始 考查内容1 落实必备知识 01 02 03 目 录 考查内容2 强化关键能力 考查内容3·4 浸润学科素养和核心价值 2 1.2.2　空间中的平面与空间向量 明学习目标 课标 要求 1.理解平面的法向量，并会求平面的法向量． 2.能用向量方法解决简单的线面位置关系． 3.了解三垂线定理及其逆定理． 重点 难点 重点：应用空间向量证明直线与平面、平面与平面之间的关系． 难点：理解三垂线定理及其逆定理. 知结构体系         续表 (一)平面的法向量 1．平面法向量的定义 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个__________，且表示n的有向线段所在的直线与平面α_______，则称n为平面α的一个法向量．此时，也称n与平面α垂直，记作_______. 非零向量 垂直 n⊥α 方向向量 平行 3．线、面平行或垂直的向量表示 (1)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔_______；n⊥v⇔____________. (2)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔________；n1∥n2⇔__________________． l⊥α l∥α或l⊂α α1⊥α2 α1∥α2或α1与α2重合 3．已知平面内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为(　 ) A．(1，－1,1) B．(2，－1,1) C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1) 答案：C (二)三垂线定理及其逆定理 1．射影 (1)已知空间中的平面α以及点A，过A作α的_____l，设l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的_____ (也称为_____)； (2)图形F上_______在平面α内的_______所组成的集合F′，称为图形F在平面α内的______． 垂线 射影 投影 所有点 射影 射影 2．三垂线定理 如果平面内的_________与平面的一条斜线在该平面内的_________，则它也和这条斜线垂直． 3．三垂线定理的逆定理 如果平面内的__________和这个平面的______________，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 一条直线 射影垂直 一条直线 一条斜线垂直 答案：C 解析：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AB⊥平面ADD1A1，故BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1.又因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D，因此根据三垂线定理可得A1D⊥BD1. 2．已知菱形ABCD的对角线相交于点O，平面ABCD外有一点P，且PO⊥平面ABCD，则直线PA与BD所成的角等于________． [拓展] 1．本题条件不变，试求直线B1D的一个方向向量和平面B1CD的一个法向量． [方法技巧]　求平面法向量的一般步骤 [方法技巧] 利用向量法证明线、面垂直的策略 (1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直． (2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0. [提醒]　解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示. 　　 [方法技巧] (1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明． (2)当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影，“三证”是证直线垂直于射影或斜线．　　 ∴∠AC1C＝∠MA1C1， ∴∠A1MC1＋∠AC1C＝∠A1MC1＋∠MA1C1＝90°， ∴A1M⊥AC1. ∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴B1C1⊥CC1. 又∵B1C1⊥A1C1，A1C1 ∩CC1＝C1， ∴B1C1⊥平面AC1， 由三垂线定理知，AB1⊥A1M. 一、在典题训练中内化学科素养 空间中直线与平面、平面与平面与空间向量相结合问题，一般是利用空间向量证明平行、垂直关系，考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养． 　(2021·浙江高考)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(　 ) A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD B．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1 C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD D．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1 答案 ：A 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 1．已知直线l的方向向