专题10 命题与证明（讲+练，五大知识点）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪科版）

专题10 命题与证明 ★知识点1：命题的概念 叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题。 （1）命题必须是一个完整的句子。 （2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。 命题的结构 每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。 典例分析 【例1】（2023春·福建南平·七年级统考期中）下列语句是命题的是（    ） A．画线段 B．内错角相等吗？ C．用量角器画 D．两直线平行，同位角相等 【例2】（2022秋·甘肃白银·八年级统考期末）下列语句是命题的是（    ） A．你喜欢数学吗？B．小明是男生 C．大庙香水梨 D．加强体育锻炼 【即学即练】 1．（2022秋·湖南怀化·八年级校联考阶段练习）下列语句中，命题的个数为（    ） ①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等； ③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等； A．2个； B．3个； C．4个； D．5个； 2．（2021秋·广西梧州·八年级校考阶段练习）下列语句是命题的是（    ） ①两点之间，线段最短；②如果，那么吗？③如果两个角的和是90度，那么这两个角互余；④过直线外一点作已知直线的垂线； A．①② B．③④ C．①③ D．②④ ★知识点2：真命题与假命题 如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题 . 真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。 典例分析 【例1】（2023春·山东德州·七年级统考期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．同旁内角互补 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 【例2】（2022秋·四川遂宁·八年级射洪中学校考期中）下列选项中，的值可以作为命题“若，则”是假命题的反例的是（    ） A． B． C． D． 即学即练 1（2023·全国·七年级假期作业）对于命题“若，则，”，下列能说明该命题是假命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（2023春·四川达州·八年级校考期中）下列命题的逆命题是真命题的有（   ）个 ①如果，则；②直角都相等 ；③两直线平行，同位角相等 ；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 ★知识点3：互逆命题的定义 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。 一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。 例 说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。 (1)直角三角形的两锐角互余； （2）全等三角形的对应角相等。 典例分析 【例1】（2023春·江苏·七年级专题练习）下列正确叙述的个数是（　　） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若，那么”的逆命题是假命题． A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】．（2023春·天津河东·八年级期中）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1 C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my 即学即练 1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角. 其中原命题与其逆命题都是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．（2020春·河南信阳·八年级淮滨高中校考阶段练习）下列定理中，没有逆定理的是(     ) A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．三边对应相等的两个三角形全等 D．直角三角形两个锐角的和等于90° ★知识点4 证明 1,从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。 从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。推理证明的必要性：判断猜想的数学结论是否正确，仅仅依靠经验是不够的，必须一步一步，有理有据地进行推理。 2,证明命题的步骤