专题16 角平分线的性质和判定（讲+练，4大知识点）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪科版）

专题16 角平分线的性质和判定 ★知识点1 角平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 典例分析 【例1】（2023春·甘肃兰州·七年级校联考期末）如图，平分，点P是射线上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．4 【例2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图所示，在中，，平分，，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【即学即练】 1．（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D且，则的面积是（    ）    A．20 B．25 C．30 D．35 2．（2023春·广东深圳·八年级统考开学考试）如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点F，下面说法：①；②；③；④． 其中正确的说法有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 ★知识点2 角平分线的作法 ①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. ②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. ③画射线OC.即射线OC即为所求. 典例分析 【例1】（2023春·广东佛山·七年级统考阶段练习）如图，在中，． (1)在上找一点D，使得点D到、的距离相等；（尺规作图，保留痕迹） (2)在（1）上条件下，若，求的大小． 【例2】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，、交于A点，请确定M点，使它到、的距离相等．（用直尺和圆规）    即学即练 1．（2021秋·广东中山·八年级校联考期中）已知：如图所示．    (1)尺规作图：作的角平分线交于点D（保留作图痕迹）； (2)过点D作交于点E，求证：为等腰三角形． 2．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考开学考试）作图题(不写作图步骤，保留作图痕迹).电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．            ★知识点3： 角平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 典例分析 【例1】（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，是内部一条射线，为射线上一点，于点于点．下面不能判定是的平分线的是（    ） A． B． C． D． 【例2】．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，为上一点，，垂足为，，垂足为，，连接，为边上的点，连接且．下列结论：①；②；③．其中结论正确的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 即学即练 1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点在线段上（不与点，重合），在的上方分别作和，且，，，连接，交于点 ，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．连接，则平分 2．（2023春·八年级单元测试）如图，A、B、C在同一条直线上，△ABF和△BCE均为等边三角形，AE、FC分别交FB、EB于点M、N，下列结论中：①△ABE≌△FBC，②AB＝FN，③BM＝BN，④∠ADF＝60°，⑤DB平分∠ADC，其中正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 ★知识点4 角平分线的实际应用 典例分析 【例1】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，两公路与相交于点O，两公路内侧有两工厂C和D，现要修建一货站使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【例2】（2023春·安徽宿州·八年级校考阶段练习）如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求： ①到两工厂的距离相等； ②在内，且到两条公路的距离相等． 你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法） 即学即练 1．（2018秋·贵州遵义·八年级校考期中）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证： （1）AE是∠DAB的平分线； （2）AE⊥DE． 2．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）（1）解方程：．      （2）如图，在中，平分，，，，，的面积为，求的面积．    1．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校考阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为E，，则（    ）    A． B．2 C．3 D． 2．（2