18.2 正比例函数（讲+练，七大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

18.2 正比例函数 1. 理解正比例关系的含义，判断两个变量是否成正比例 2. 理解正比例函数的概念，初步学会用待定系数法求正比例函数解析式 3. 知道正比例函数的图像是一条经过原点的直线，理解、掌握正比例函数的性质 4. 会应用正比例函数解决一些简单的实际问题 知识点一 正比例函数的概念 1.成正比例 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例. 注意：两个变量成正比例,说明其中一个变量是另一个变量的函数.用式子表示两个变量x,y成正比例,就是或表示为，是不等于0的常数. 即学即练 已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，求的值． 2.正比例函数 (1)函数解析式：形如的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数. (2)特征： ①比例系数; ②自变量的次数是1; ③等号右边是常数与自变量的乘积; ④正比例函数的定义域是一切实数. 即学即练 下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数． （1）；     （2）；             （3）；         （4）． 知识点二 正比例函数的图像 1.函数y=f(x)的图像 对于一个函数,如果一个图形(包括直线、曲线或其他图形)上任意一点的坐标都满足函数关系式,同时以这个函数解析式所确定的与的任意一组对应值为坐标的点都在图形上,那么这个图形叫做函数图像. 注意：函数的图像应满足两个条件: (1)函数图像上的任意一点中的,必满足函数解析式; (2)满足函数解析式的任意一对,的值，作为横坐标和纵坐标的点必在这个函数的图像上.二者缺一不可. 2.正比例函数的图像 一般地，正比例函数的图像是经过原点和点的一条直线.我们把正比例函数的图像叫做直线. 注意：因为两点确定一条直线，今后画函数图像，可以用原点和点这两个点进行“两点作图法” 3.画正比例函数图像的一般步骤 ①列表（正比例函数一般用两点法，复杂函数可用五点法或者其他） ②描点 ③连线（正比例函数一般情况是直线，如果遇到实际问题限定，可能是“线段”、“离散的点”等等） 即学即练 （2022秋·陕西西安·八年级校考期中）请画出正比例函数和的图像（写出作图过程）． 知识点三 正比例函数的性质 1.当时,正比例函数的图像经过第一、三象限，自变量的值逐渐增大时,的值也随着逐渐增大.（也可以说随的增大而增大或者说随的减小而减小） 2.当时，正比例函数的图像经过第二、四象限，自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小.（也可以说随的增大而减小或者说随的减小而增大） 注意： (1)当时，正比例函数的图像从左向右呈上升趋势;当 时,正比例函数的图像从左向右呈下降趋势 (2)正比例函数中,越大,直线越靠近轴，越小,直线越远离轴 即学即练1 （2023·上海普陀·统考二模）已知函数（k是常数，）的图像经过第一、三象限，下列说法中正确的是（    ） A． B．图像一定经过点 C．图像是双曲线 D．的值随的值增大而减小 即学即练2 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）已知点和都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 知识点四 正比例函数解析式的确定 1.待定系数法 在求正比例函数的解析式时,先设解析式为，其中k待定，再利用已知条件确定k的值，这样的方法称为“待定系数法” 2.确定正比例函数解析式的一般步骤 (1)设：将正比例函数解析式设为 (2)代:将已知的x,y的一组对应值代入，建立关于k的方程 (3)解:解这个方程确定的值; 4)写:把求得的k值代入,写出正比例函数的解析式. 即学即练 （2022秋·上海松江·八年级校考期中）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，且过点，求这个正比例函数的解析式． 题型一 根据正比例函数的概念求字母系数的值 例1 已知点（2，﹣4）在正比例函数y＝kx的图象上． （1）求k的值； （2）若点（﹣1，m）也在此函数y＝kx的图象上，试求m的值． 举一反三1 已知正比例函数y=kx的图像经过第四象限内一点，求k的值. 举一反三2 已知正比例函数经过点． (1)求k的值； (2)判断点是否在这个函数图像上． 题型二 利用正比例函数的图像和性质确定字母的取值范围 例2 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）已知正比例函数，如果它的图像经过第二、四象限，则的取值范围是 ． 举一反三1 （2022秋·上海·八年级校考期末）关于x的正比例函数y=(m+2)x，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 举一反三2 （2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）如果正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 题型三 与正比例函数有