专题12 全等三角形的判定（讲+练，七大知识点）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪科版）

专题12 全等三角形的判定 ★知识点1：全等三角形的判定-SSS SSS指的是利用边边边证明三角形全等，只要找到对应边分别相等，即可证明！ 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 典例分析 【例1】（2023·云南·统考中考真题）如图，是的中点，．求证：．    【例2】（2023·江苏南京·统考二模）如图，在和中，，，D、分别是BC、的中点，且．求证．    【即学即练】 1．（2023春·云南·九年级专题练习）已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证： (1)△AEC≌△BFD (2)DE=CF 2．（2018秋·八年级课时练习）如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED吗？试证明． ★知识点2：全等三角形的判定-SAS SAS指的是利用边角边证明两三角形全等，这个角必须是两对应边的夹角，切不可看成是SSA，SSA是不能作为判定三角形全等的方法的。 （1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. （2） 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 典例分析 【例1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点A，B，C，D在同一直线上，．求证：．    【例2】（2023春·江西·九年级专题练习）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：． 即学即练 1．（2023春·甘肃白银·七年级统考期末）如图，，，与全等吗？为什么？    2．（2023秋·安徽·八年级阶段练习）如图，和中，，连接，．    (1)求证：； (2)求证：． ★知识点3：全等三角形的判定-ASA或AAS 此类主要是利用两角和一边，注意这个边可以是两角的夹边，也可以是角的对边或邻边 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. （1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 备注：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. （2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 典例分析 【例1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得， ，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【例2】（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）如图，，，，，垂足分别是，．    (1)求证：； (2)猜想线段，，之间具有怎样的数量关系，并说明理由． 即学即练 1．（2023秋·全国·八年级专题练习）在和中，点在边上，，，，求证：． 2．（2023春·湖南株洲·八年级统考开学考试）如图，已知点、、、在同一直线上，，，．    (1)求证：； (2)，，求的度数． ★知识点4 全等三角形的判定-HL HL 只适用于直角三角形的判定，指的是一直角边和一斜边。 （1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. （2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. 2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. 3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 典例分析 【例1】（2023春·江苏盐