2.2.4 均值不等式及其应用（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

2.2.4　均值不等式及其应用 第 1 课时　均值不等式(强基课－梯度进阶式教学) 课时目标　　　 1.掌握均值不等式≤(a>0，b>0)，掌握均值不等式的变形及应用. 2.能熟练运用均值不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式. 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值. 2.均值不等式 如果a，b都是正数，那么，当且仅当a＝b时，等号成立. 3.常用变形 (1)2≥ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立. (2)a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立. 微点助解 (1)均值不等式≥中，要求a，b都是正实数，否则，若a<0，b<0，如a＝－2，b＝－4，则会出现≥的错误结论.若a，b中有一个小于0，如a＝2，b＝－4，则无意义. (2)均值不等式成立的条件是a>0，b>0，而重要不等式中的a，b是实数.事实上，当a>0，b>0时，我们分别用，代替重要不等式中的a，b，即得a＋b≥2 ，变形可得≥. (3)均值不等式中的a，b的取值既可以是某个具体的正数，也可以是一个代数式，但是代数式的结果应为正数. [基点训练] 1.判断正误. (1)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2 .(　 ) (2)6和8的几何平均数为2.(　 ) (3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立.(　 ) (4)若a≠0，则a＋≥2 ＝2.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　 (3)×　(4)× 2.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　 ) A.a＝±1 B.a＝1 C.a＝－1 D.a＝0 解析：选B　当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立. 3.设a>b>0，则下列不等式一定成立的是(　 ) A.a－b<0 B.0<<1 C.< D.ab>a＋b 解析：选C　∵a>b>0，由均值不等式知<一定成立. 4.(多选)当a，b∈R时，下列不等关系不成立的是(　 ) A.≥ B.a－b≥2 C.a2＋b2≥2ab D.a2－b2≥2ab 解析：选ABD　根据≥ab，≥成立的条件判断，知A、B、D错误，只有C正确. 题型(一)　对均值不等式的理解 [典例]　给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－＋≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　 ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ [解析]　①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确.②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的.③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确. [答案]　B 对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)定理成立的条件是a，b都是正数. (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.　 　 [针对训练] 　下列不等式等号可以取到的是(　 ) A.＋≥2 B.x2＋2＋≥2 C.x2＋≥2 D.|x|＋3＋≥2 解析：选C　对于A，因为>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即x2＝－4，故等号不成立，故A不符合；对于B，因为x2＋2>0，所以x2＋2＋≥2＝2，当且仅当x2＋2＝，即x2＝－1，故等号不成立，故B不符合；对于C，因为x2>0，所以x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时取等号，故C符合；对于D，因为|x|＋3>0，所以|x|＋3＋≥2＝2，当且仅当|x|＋3＝，即|x|＝－2，故等号不成立，故D不符合. 题型(二)　利用均值不等式比较大小 [典例]　(1)设0<a<b，则下列不等式正确的是(　 ) A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b (2)已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________. [解析]　(1)法一：∵0<a<b，∴a<<b，排除A、C两项. 又－a＝(－)>0，即>a，排除D项，故选B. 法二：取a＝2，b＝8，则＝4，＝5， 所以a＜＜＜b. 故选B. (2)因为a>2，所以a－2>0， 又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立.由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2－b2<4，综上可知m>n. [答案]　(1)B　(2)m>n 利用均值不等式比较大小的注意事项 (1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.　　 [针